Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 16:40 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Хотелось бы получить помощь в решение следующих диф. уравнений.

1) [math]x'= \frac{x}{t}+\sqrt{1-( \frac{x}{t})^{2}}[/math]

Тут у меня получилось такое решение:
Это однородное диф. уравнение
[math]\frac{ dx }{ dt }= \frac{ x }{ t }+\sqrt{1-( \frac{x}{t})^{2}}[/math]

[math]\frac{tdy+ydt}{dt}=y+\sqrt{1-y^{2}}[/math]

[math]\frac{tdy}{dt}+y=y+\sqrt{1-y^{2}}[/math]

[math]\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int \frac{dt}{t}[/math]

[math]\arcsin{y}= \ln{t}+C[/math]

[math]\arcsin{\frac{x}{t}}= \ln{t}+C[/math]

2) [math]x'+5x=e^{-5t}\cos{t}; x(0)=1[/math]
Тут надо решить задачу Коши, но сначала надо решить это диф. уравнение, но я не могу понять к какому типу оно отностится

3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 16:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
2)[math]x'+5x=e^{-5t}\cos{t}; x(0)=1[/math]
Тут надо решить задачу Коши, но сначала надо решить это диф. уравнение, но я не могу понять к какому типу оно отностится

3)[math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?


Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 18:43 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Порешал второе уравнение, вот что получилось:
[math]x'+5x=0[/math]

[math]\frac{dx}{dt}=-5x[/math]

[math]\int \frac{dx}{5x}=-\int dt[/math]

[math]\frac{1}{5}ln|x|=-t*C(t)[/math]

[math]ln|x|=-5t*C(t)[/math]

[math]x=e^{-5t}*C(t)[/math]

[math]-5e^{-5t}*C(t)+e^{-5t}*C'(t)+5e^{-5t}*C(t)=e^{-5t}cos(t)[/math]

[math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math]

[math]C(t)=sin(x)+C[/math]

[math]x=e^{-5t}(sin(x)+C)[/math]

Найдем частные решения:

[math]1=1*(sin(1)+C)[/math]

[math]C=1-arcsin(1)[/math]

[math]x=e^{-5t}(sin(x)+1-arcsin(1))[/math]
Верно решил? И верно-ли решено 1 задание?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 21:12 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот 3 задание:
[math]tx'+2x=0[/math]

[math]\frac{tdx}{dt}=-2x[/math]

[math]\int \frac{dt}{t}=-\int \frac{dx}{2x}[/math]

[math]ln|t|=-0.5ln|xC|[/math]

[math]t=x^{-0.5}C(t)[/math]

[math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math]

[math]t* \frac{2C'(t)*t^{2} -(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]\frac{2C'(x)t-(C(t))^{2}*2+2(C(t))^{2}}{t^{2}}= t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]\frac{2C'(t)}{t}= t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]2\int C'(t)=\int\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]2C(t)=tg(t)+C[/math]

[math]C(t)= \frac{tg(t)}{2}+C[/math]

[math]x=\left( \frac{tg(t)}{2}+C \right)^{2}[/math]

Вопрос тот же: Верно ли решил?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 21:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
[math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math]

[math]C(t)=sin(x)+C[/math]


Необъяснимая трансформация [math]t[/math] в [math]x[/math]?

Crossproi писал(а):
[math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math]

[math]t* \frac{2C'(t)*t-(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]


Ещё раз проверьте производную. А лучше возьмите [math]x=\frac{C(t)}{t^2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 21:32 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):

[math]C(t)=sin(x)+C[/math]

Необъяснимая трансформация [math]t[/math] в [math]x[/math]?


Просто опечатка. Если учесть что там [math]t[/math] верно-ли решено?

Верно-ли решена 1 задача?



Crossproi писал(а):
[math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math]

[math]t* \frac{2C'(t)*t-(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]


Ещё раз проверьте производную. А лучше возьмите [math]x=\frac{C(t)}{t^2}[/math].

Тоже опечатка, забыл квадрат при [math]t[/math] написать(когда с листочка списывал). Поправил в предыдущем посте. Больше недочетов нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 21:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
Просто опечатка. Если учесть что там [math]t[/math] верно-ли решено?


Да не просто опечатка. Вы её потом до самого конца проносите, а потом при поиске частного решения Вы в неё подставляете единицу вместо нуля.

Crossproi писал(а):
Тоже опечатка, забыл квадрат при [math]t[/math] написать(когда с листочка списывал). Поправил в предыдущем посте. Больше недочетов нет?


Недочёт остаётся. Чему равна производная от [math]C^2(t)[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 22:14 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?

Решение почти очевидно. Умножьте обе части на [math]t[/math], должны получить

[math]t^2x' + 2tx = \frac{1}{\cos^2t}[/math]

В левой части нетрудно заметить производную произведения [math]t^2x(t)[/math], то есть имеем

[math](t^2x)' = \frac{1}{\cos^2t}[/math] или, после интегрирования, [math]t^2x = \operatorname{tg}t + C[/math], окончательно [math]x=\frac{\operatorname{tg}t+C}{t^2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 22:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Пардон" действительно ошибся.
пересчитал [math]C=1[/math]
Получается [math]x=e^{-5t}(sin(x)+1)[/math]

[math]C^{2}(t)=2C(t)C'(t)[/math]
Вижу что там ошибся

Alexdemath писал(а):
Crossproi писал(а):
3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?

Решение почти очевидно. Умножьте обе части на [math]t[/math], должны получить

[math]t^2x' + 2tx = \frac{1}{\cos^2t}[/math]

В левой части нетрудно заметить производную произведения [math]t^2x(t)[/math], то есть имеем

[math](t^2x)' = \frac{1}{\cos^2t}[/math] или, после интегрирования, [math]t^2x = \operatorname{tg}t + C[/math], окончательно [math]x=\frac{\operatorname{tg}t+C}{t^2}[/math].

Спасибо, так действительно проще))))

А кто-нибудь что-то скажет по 1 заданию?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несколько диф. уравнений
СообщениеДобавлено: 30 мар 2013, 22:30 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
А кто-нибудь что-то скажет по 1 заданию?

Однородное уравнение, решается стандартной заменой

[math]\begin{gathered}x = tz(t) \Rightarrow x' = z(t) + tz'(t) \hfill \\ z + tz' = z + \sqrt{1 -{z^2}}\hfill \end{gathered}[/math]

Теперь разделите переменные и проинтегрируйте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несколько пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Platon

1

214

30 сен 2016, 15:39

Несколько задач

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Olga Olga

35

986

17 июл 2019, 20:53

Несколько задач

в форуме Экономика и Финансы

Anastasiya_2411

0

566

13 сен 2017, 10:20

Несколько неопределенных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

EDWIN

8

514

03 июн 2017, 15:25

...стоит несколько слонов

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

3

369

07 окт 2017, 23:38

Решить несколько задач

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Polina_rez

1

327

08 дек 2015, 08:06

Несколько задачек на векторы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

StreemFIle

11

282

14 окт 2019, 13:39

Несколько вопросов по функциям

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

16

656

19 авг 2016, 01:31

Доказать несколько неравенств

в форуме Алгебра

mathhelp

14

819

29 май 2015, 17:27

Несколько несложных задач

в форуме Теория вероятностей

Anna Ondo

3

389

17 июн 2015, 18:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved