| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вроде бы несложное диф. уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=22663 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | raweco [ 16 мар 2013, 21:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Вроде бы несложное диф. уравнение |
[math]y`(t)+6y(t)=cos {t}[/math] Помогите, пожалуйста, с решением этого диф. уравнения. Как решить диф. уравнение вида [math]y`(t)+9y(t)=t[/math] я знаю( ▼
Но косинус t усложняет задачу, поэтому я прошу помощи. Заранее спасибо |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 16 мар 2013, 21:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
[math]y'+6y=\cos t[/math] [math]y=uv[/math] [math]u'v+v'u+6uv=\cos t[/math] [math]u'v+u(v'+6v)=\cos t[/math] [math]\frac{dv}{dt}+6v=0[/math] [math]\frac{dv}{v}+6dt=0[/math] [math]\ln |v|+6t=C_1[/math] [math]...[/math] |
|
| Автор: | raweco [ 16 мар 2013, 22:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
Ellipsoid писал(а): [math]y'+6y=\cos t[/math] [math]y=uv[/math] [math]u'v+v'u+6uv=\cos t[/math] [math]u'v+u(v'+6v)=\cos t[/math] [math]\frac{dv}{dt}+6v=0[/math] [math]\frac{dv}{v}+6dt=0[/math] [math]\ln |v|+6t=C_1[/math] [math]...[/math] Спасибо за помощь. Это немного другой способ решения подобных диф. уравнений, у меня вопрос по продолжению. Дальше будет: [math]\ln |v|+6t=C_1[/math] [math]v=e^{-6t}[/math] Далее подставляем найденную функцию во уравнение [math]u'v=\cos t[/math] ? |
|
| Автор: | mad_math [ 16 мар 2013, 22:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
А какой способ решения уравнения y'+9y=t вы знаете, что уравнение с косинусом этим способом уже нельзя решить? |
|
| Автор: | raweco [ 16 мар 2013, 22:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
mad_math писал(а): А какой способ решения уравнения y'+9y=t вы знаете, что уравнение с косинусом этим способом уже нельзя решить? решение под спойлером |
|
| Автор: | mad_math [ 16 мар 2013, 22:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
Так проблема не в диффуре, а в том, что вы не умеете брать интегралы вида [math]\int e^{ax}\cos{bx}dx[/math]. Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям, при этом оба раза за u нужно выбиратт одну и ту же функцию, например, [math]e^{ax}[/math] |
|
| Автор: | raweco [ 16 мар 2013, 23:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
mad_math писал(а): Так проблема не в диффуре, а в том, что вы не умеете брать интегралы вида [math]\int e^{ax}\cos{bx}dx[/math]. Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям, при этом оба раза за u нужно выбиратт одну и ту же функцию, например, [math]e^{ax}[/math] Взять интеграл такого вида я смогу, но как до него дойти? |
|
| Автор: | mad_math [ 17 мар 2013, 00:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
Также, как вы пришли к интегралу [math]\int xe^{9x}dx[/math] при решении уравнения y'+9y=x. Кстати, определитесь все таки, что является переменной в вашем уравнении: x или t. |
|
| Автор: | raweco [ 17 мар 2013, 18:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
mad_math писал(а): Также, как вы пришли к интегралу [math]\int xe^{9x}dx[/math] при решении уравнения y'+9y=x. Кстати, определитесь все таки, что является переменной в вашем уравнении: x или t. t Нет, также не получается, иначе я бы без помощи сделал бы. ▼
Вот в этой части у меня ошибка? |
|
| Автор: | mad_math [ 17 мар 2013, 18:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вроде бы несложное диф. уравнение |
Ошибки нет. Только лучше взять [math]\ln{|y|}=-6t+\ln{C}[/math], откуда [math]y=Ce^{-6t}[/math] А дальше, как и в уравнении [math]y'+9y=t[/math], полагаете [math]C=C(t)[/math] - неизвестная функция, находите производную функции [math]y=C(t)e^{-6t}[/math] и подставляете в уравнение [math]y'+6y=\cos{t}[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|