Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вроде бы несложное диф. уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=22663
Страница 1 из 2

Автор:  raweco [ 16 мар 2013, 21:37 ]
Заголовок сообщения:  Вроде бы несложное диф. уравнение

[math]y`(t)+6y(t)=cos {t}[/math]
Помогите, пожалуйста, с решением этого диф. уравнения.

Как решить диф. уравнение вида
[math]y`(t)+9y(t)=t[/math]
я знаю(
Изображение
Изображение
).
Но косинус t усложняет задачу, поэтому я прошу помощи.

Заранее спасибо

Автор:  Ellipsoid [ 16 мар 2013, 21:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

[math]y'+6y=\cos t[/math]

[math]y=uv[/math]

[math]u'v+v'u+6uv=\cos t[/math]

[math]u'v+u(v'+6v)=\cos t[/math]

[math]\frac{dv}{dt}+6v=0[/math]

[math]\frac{dv}{v}+6dt=0[/math]

[math]\ln |v|+6t=C_1[/math]

[math]...[/math]

Автор:  raweco [ 16 мар 2013, 22:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

Ellipsoid писал(а):
[math]y'+6y=\cos t[/math]

[math]y=uv[/math]

[math]u'v+v'u+6uv=\cos t[/math]

[math]u'v+u(v'+6v)=\cos t[/math]

[math]\frac{dv}{dt}+6v=0[/math]

[math]\frac{dv}{v}+6dt=0[/math]

[math]\ln |v|+6t=C_1[/math]

[math]...[/math]


Спасибо за помощь.
Это немного другой способ решения подобных диф. уравнений, у меня вопрос по продолжению. Дальше будет:

[math]\ln |v|+6t=C_1[/math]

[math]v=e^{-6t}[/math]

Далее подставляем найденную функцию во уравнение [math]u'v=\cos t[/math]
?

Автор:  mad_math [ 16 мар 2013, 22:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

А какой способ решения уравнения y'+9y=t вы знаете, что уравнение с косинусом этим способом уже нельзя решить?

Автор:  raweco [ 16 мар 2013, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

mad_math писал(а):
А какой способ решения уравнения y'+9y=t вы знаете, что уравнение с косинусом этим способом уже нельзя решить?

решение под спойлером

Автор:  mad_math [ 16 мар 2013, 22:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

Так проблема не в диффуре, а в том, что вы не умеете брать интегралы вида [math]\int e^{ax}\cos{bx}dx[/math]. Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям, при этом оба раза за u нужно выбиратт одну и ту же функцию, например, [math]e^{ax}[/math]

Автор:  raweco [ 16 мар 2013, 23:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

mad_math писал(а):
Так проблема не в диффуре, а в том, что вы не умеете брать интегралы вида [math]\int e^{ax}\cos{bx}dx[/math]. Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям, при этом оба раза за u нужно выбиратт одну и ту же функцию, например, [math]e^{ax}[/math]


Взять интеграл такого вида я смогу, но как до него дойти?

Автор:  mad_math [ 17 мар 2013, 00:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

Также, как вы пришли к интегралу [math]\int xe^{9x}dx[/math] при решении уравнения y'+9y=x.
Кстати, определитесь все таки, что является переменной в вашем уравнении: x или t.

Автор:  raweco [ 17 мар 2013, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

mad_math писал(а):
Также, как вы пришли к интегралу [math]\int xe^{9x}dx[/math] при решении уравнения y'+9y=x.
Кстати, определитесь все таки, что является переменной в вашем уравнении: x или t.


t

Нет, также не получается, иначе я бы без помощи сделал бы.
Изображение

Вот в этой части у меня ошибка?

Автор:  mad_math [ 17 мар 2013, 18:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вроде бы несложное диф. уравнение

Ошибки нет. Только лучше взять [math]\ln{|y|}=-6t+\ln{C}[/math], откуда [math]y=Ce^{-6t}[/math]
А дальше, как и в уравнении [math]y'+9y=t[/math], полагаете [math]C=C(t)[/math] - неизвестная функция, находите производную функции [math]y=C(t)e^{-6t}[/math] и подставляете в уравнение [math]y'+6y=\cos{t}[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/