Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача Коши для волнового уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=22455
Страница 1 из 1

Автор:  inaki [ 06 мар 2013, 23:41 ]
Заголовок сообщения:  Задача Коши для волнового уравнения

Нужна помощь в решении задачи Коши, условия:
[math]\begin{gathered}{U_{tt}}= \Delta U +{x^2}+{y^2}+{z^2}\hfill \\{U_{t = 0}}= \sin x\cos y\sin 2z \hfill \\ U_{t = 0}^\prime ={x^2}+{y^2}+{z^2}\hfill \\ \end{gathered}[/math]
Так понял что ее можно решить по формуле Кирхгофа, может есть еще способы?

Автор:  Human [ 07 мар 2013, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши для волнового уравнения

Можно заметить, что функция [math]\sin x\cos y\sin2z[/math] является собственной функцией оператора Лапласа, а функция [math]x^2+y^2+z^2[/math] после действия оператора Лапласа даёт константу, которая также является собственной функцией этого оператора, поэтому решение можно искать в виде

[math]U(t,x,y,z)=f(t)(x^2+y^2+z^2)+g(t)\sin x\cos y\sin2z+h(t)[/math]

Тогда, подставив это решение в исходное уравнение и учтя линейную независимость функций [math]1,x^2+y^2+z^2,\sin x\cos y\sin2z[/math] и начальные условия, получим три задачи Коши для одномерного диффура:

[math]\left\{\begin{aligned}f''=0\\f(0)=0\\f'(0)=1\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}g''+6g=0\\g(0)=1\\g'(0)=0\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}h''=6f\\h(0)=0\\h'(0)=0\end{aligned}\right.[/math]

Решив их, получим ответ

[math]U(t,x,y,z)=t(x^2+y^2+z^2)+\cos\sqrt6t\sin x\cos y\sin2z+t^3[/math]

Автор:  inaki [ 07 мар 2013, 18:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши для волнового уравнения

Human спасибо, выручил.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/