Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифференциальное уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=22291
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 26 фев 2013, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Дифференциальное уравнение

The solution of differential equation [math]\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+y^2}[/math]

Автор:  erjoma [ 27 фев 2013, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

[math]\begin{gathered} \frac{{dx}}{{dy}} = {x^2} + {y^2} \hfill \\ x = - \frac{{z'\left( y \right)}}{{z\left( y \right)}} \hfill \\ \frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{ - z''z + {{\left( {z'} \right)}^2}}}{{{z^2}}} \hfill \\ z'' + z{y^2} = 0 \hfill \\ z = \sqrt y t \hfill \\ z'' = - \frac{t}{{4\sqrt {{y^3}} }} + \frac{{t'}}{{\sqrt y }} + \sqrt y t'' \hfill \\ - \frac{t}{{4\sqrt {{y^3}} }} + \frac{{t'}}{{\sqrt y }} + \sqrt y t'' + t\sqrt {{y^5}} = 0 \hfill \\ {y^2}t'' + yt' + \left( {{y^4} - \frac{1}{4}} \right)t = 0 \hfill \\ u = \frac{{{y^2}}}{2} \hfill \\ \frac{{dt}}{{dy}} = \frac{{dt}}{{du}}y \hfill \\ \frac{{{d^2}t}}{{d{y^2}}} = \frac{{{d^2}t}}{{d{u^2}}}{y^2} + \frac{{dt}}{{du}} \hfill \\ 2u\left( {\frac{{{d^2}t}}{{d{u^2}}}2u + \frac{{dt}}{{du}}} \right) + 2u\frac{{dt}}{{du}} + \left( {4{u^2} - \frac{1}{4}} \right)t = 0 \hfill \\ {u^2}\frac{{{d^2}t}}{{d{u^2}}} + u\frac{{dt}}{{du}} + \left( {{u^2} - \frac{1}{{16}}} \right)t = 0 \hfill \\ t = {C_1}{J_{\frac{1}{4}}}\left( u \right) + {C_2}{J_{ - \frac{1}{4}}}\left( u \right) \hfill \\ z = \sqrt y \left( {{C_1}{J_{\frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right) + {C_2}{J_{ - \frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right) \hfill \\ x =- \frac{{{{\left( {\sqrt y \left( {{C_1}{J_{\frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right) + {C_2}{J_{ - \frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right)} \right)}^\prime }}}{{\sqrt y \left( {{C_1}{J_{\frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right) + {C_2}{J_{ - \frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right)}} =- \frac{1}{{2y}} - y \cdot \frac{{{C_1}{{J'}_{\frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right) + {C_2}{{J'}_{ - \frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)}}{{{C_1}{J_{\frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right) + {C_2}{J_{ - \frac{1}{4}}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


P.S.
Частный случай такого уравнения:
[math]b\frac{{dx}}{{dt}} = {x^2} + a{t^\alpha }[/math](**)


где — постоянные [math]\alpha ,a,b \ne 0[/math], впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай старший и Николай младший). Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах:[math]\alpha = \frac{{4n}}{{1 - 2n}},n \in \mathbb{N}[/math] или [math]\alpha = - 2[/math] Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях решение уравнения (**) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида (*) часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида (**) — специальным уравнением Риккати.

Автор:  jagdish [ 27 фев 2013, 18:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

Thanks erjoma

If You have any document or article about that type of Question. Then plz give me

Автор:  erjoma [ 27 фев 2013, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/