Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать теорему
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=22207
Страница 1 из 2

Автор:  MoskvinAlex [ 21 фев 2013, 12:52 ]
Заголовок сообщения:  Доказать теорему

Пусть есть гладкая функция h, k<k0=2/(b-a)

Доказать что интеграл от а до b от ((h')^2-k*h^2)dx >0. Отдельно рассмотреть случай k=k0.

Автор:  Human [ 21 фев 2013, 15:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Что-то я не уверен, что эта теорема верна.
Пусть [math]h(x)=\sqrt x[/math] на отрезке [math][1;2][/math]. Возьмём [math]k=1<2=\frac2{b-a}[/math]. Тогда

[math]\int\limits_1^2\left(\frac1{4x}-x\right)\,dx=\frac14(\ln2-6)<0[/math]

Автор:  MoskvinAlex [ 22 фев 2013, 22:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Human,я забыл сказать...... функция должна быть равна нулю на концах, ...Всё ещё нужна помощь.

Автор:  Prokop [ 22 фев 2013, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

MoskvinAlex
При таких краевых условиях постоянная [math]k_0[/math] должна быть другой.
[math]k_0 = \left({\frac{\pi}{{b - a}}}\right)^2[/math]

P.S. Это первое собственное число оператора второго дифференцирования с условиями Дирихле.

Автор:  MoskvinAlex [ 23 фев 2013, 10:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Постоянная k0=2/(b-a)

Это чётко обозначено в условии......

Автор:  Prokop [ 23 фев 2013, 14:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Утверждение теоремы неверно.
Пусть [math]a=0[/math], [math]k_0 = \frac{2}{b}> k > \frac{{\pi ^2}}{{b^2}}[/math]
Этого можно добиться за счёт выбора параметра [math]b[/math].
Тогда, выбрав функцию
[math]h\left( x \right) = \sin \frac{{\pi \left({x - b}\right)}}{b}[/math],
получим
[math]\int\limits_0^b{\left({\left({h'\left( x \right)}\right)^2 - k\left({h\left( x \right)}\right)^2}\right)dx}= \int\limits_0^b{\left({\frac{{\pi ^2}}{{b^2}}\left({\cos \frac{{\pi \left({x - b}\right)}}{b}}\right)^2 - k\left({\sin \frac{{\pi \left({x - b}\right)}}{b}}\right)^2}\right)dx}< 0[/math]

Автор:  MoskvinAlex [ 23 фев 2013, 15:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Да , это убедительно.

А если бы знак неравенства стоял бы в другую сторону (<)...Имела бы смысл теорема.

Мы на практикуме использовали данную формулировку, чтобы проанализировать тип экстремума. Там получалась вторая вариационная производная равная интегралу по промежутку 0 до 1 от ((h')^2-h^2)dx. Функция h = 0 на концах......Используя теорему для данного случая получали k=1<2..и из этого делали вывод , что имеем дело с минимум глобальным.

Теперь получается , что теорема неверна ?!

Автор:  MoskvinAlex [ 26 фев 2013, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Prokop, а если использовать k0 приведённую вами,как доказывать?

Автор:  Prokop [ 26 фев 2013, 20:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

Используем факт, из которого следует решение задачи.
Наилучшая константа [math]k_0[/math] в неравенстве
[math]\int\limits_a^b{\left|{h'\left( x \right)}\right|^2 dx}\geqslant k_0 \int\limits_a^b{\left|{h\left( x \right)}\right|^2 dx}[/math]
для всех дифференцируемых функций [math]h\left( x \right)[/math], [math]h\left( a \right) = h\left( b \right) = 0[/math] и [math]h' \in L_2[/math] , является первым собственным числом оператора [math]Ah = - h''[/math] с однородными условиями Дирихле на концах промежутка.
Собственные числа
[math]\lambda _n = \frac{{n^2 \pi ^2}}{{\left({b - a}\right)^2}}[/math]
а собственные функции
[math]h_n = \sin \frac{{n\pi \left({x - a}\right)}}{{b - a}}[/math]
Это написано во многих книгах по математической физике, например, в книге С.Г. Михлина, Курс математической физики. Гл.6, параграф 8.
Можно найти минимум и самостоятельно.

Автор:  MoskvinAlex [ 26 фев 2013, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать теорему

А более точной оценки k< k0=2/(b-a)^2 нельзя добиться?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/