Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 21 фев 2013, 13:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2012, 16:10
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть есть гладкая функция h, k<k0=2/(b-a)

Доказать что интеграл от а до b от ((h')^2-k*h^2)dx >0. Отдельно рассмотреть случай k=k0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 21 фев 2013, 16:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3991
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1774 раз в 1478 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то я не уверен, что эта теорема верна.
Пусть [math]h(x)=\sqrt x[/math] на отрезке [math][1;2][/math]. Возьмём [math]k=1<2=\frac2{b-a}[/math]. Тогда

[math]\int\limits_1^2\left(\frac1{4x}-x\right)\,dx=\frac14(\ln2-6)<0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 22 фев 2013, 23:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2012, 16:10
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human,я забыл сказать...... функция должна быть равна нулю на концах, ...Всё ещё нужна помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 23 фев 2013, 00:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MoskvinAlex
При таких краевых условиях постоянная [math]k_0[/math] должна быть другой.
[math]k_0 = \left({\frac{\pi}{{b - a}}}\right)^2[/math]

P.S. Это первое собственное число оператора второго дифференцирования с условиями Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 23 фев 2013, 11:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2012, 16:10
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Постоянная k0=2/(b-a)

Это чётко обозначено в условии......

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 23 фев 2013, 15:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Утверждение теоремы неверно.
Пусть [math]a=0[/math], [math]k_0 = \frac{2}{b}> k > \frac{{\pi ^2}}{{b^2}}[/math]
Этого можно добиться за счёт выбора параметра [math]b[/math].
Тогда, выбрав функцию
[math]h\left( x \right) = \sin \frac{{\pi \left({x - b}\right)}}{b}[/math],
получим
[math]\int\limits_0^b{\left({\left({h'\left( x \right)}\right)^2 - k\left({h\left( x \right)}\right)^2}\right)dx}= \int\limits_0^b{\left({\frac{{\pi ^2}}{{b^2}}\left({\cos \frac{{\pi \left({x - b}\right)}}{b}}\right)^2 - k\left({\sin \frac{{\pi \left({x - b}\right)}}{b}}\right)^2}\right)dx}< 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 23 фев 2013, 16:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2012, 16:10
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да , это убедительно.

А если бы знак неравенства стоял бы в другую сторону (<)...Имела бы смысл теорема.

Мы на практикуме использовали данную формулировку, чтобы проанализировать тип экстремума. Там получалась вторая вариационная производная равная интегралу по промежутку 0 до 1 от ((h')^2-h^2)dx. Функция h = 0 на концах......Используя теорему для данного случая получали k=1<2..и из этого делали вывод , что имеем дело с минимум глобальным.

Теперь получается , что теорема неверна ?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 26 фев 2013, 19:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2012, 16:10
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, а если использовать k0 приведённую вами,как доказывать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 26 фев 2013, 21:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используем факт, из которого следует решение задачи.
Наилучшая константа [math]k_0[/math] в неравенстве
[math]\int\limits_a^b{\left|{h'\left( x \right)}\right|^2 dx}\geqslant k_0 \int\limits_a^b{\left|{h\left( x \right)}\right|^2 dx}[/math]
для всех дифференцируемых функций [math]h\left( x \right)[/math], [math]h\left( a \right) = h\left( b \right) = 0[/math] и [math]h' \in L_2[/math] , является первым собственным числом оператора [math]Ah = - h''[/math] с однородными условиями Дирихле на концах промежутка.
Собственные числа
[math]\lambda _n = \frac{{n^2 \pi ^2}}{{\left({b - a}\right)^2}}[/math]
а собственные функции
[math]h_n = \sin \frac{{n\pi \left({x - a}\right)}}{{b - a}}[/math]
Это написано во многих книгах по математической физике, например, в книге С.Г. Михлина, Курс математической физики. Гл.6, параграф 8.
Можно найти минимум и самостоятельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, MoskvinAlex
 Заголовок сообщения: Re: Доказать теорему
СообщениеДобавлено: 26 фев 2013, 22:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2012, 16:10
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А более точной оценки k< k0=2/(b-a)^2 нельзя добиться?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать теорему

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

maqueee

2

170

13 апр 2014, 11:27

Доказать теорему Менелая

в форуме Геометрия

marina22

5

213

10 дек 2014, 09:52

Доказать теорему по Канторову множеству

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Nikityansky

1

129

24 дек 2011, 15:39

Как доказать теорему - проекция вектора на ось

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

UkrFreeman

5

99

12 июл 2017, 20:24

Доказать теорему об элементарных преобразованиях

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

1243

3

354

10 сен 2012, 22:30

Доказать, используя теорему Гамильтона-Кэли

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

and1

6

638

16 июн 2013, 04:50

Доказать теорему о свойстве рвнобедрнного треугольнка

в форуме Геометрия

Gagarin

7

360

06 авг 2014, 16:52

Требуется доказать теорему для матриц специального вида

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

MaximKarimov

0

52

22 сен 2017, 20:10

Что значит "доказать теорему"?

в форуме Размышления по поводу и без

SibTip

14

292

06 май 2016, 21:34

Последовательность (на теорему Эйлера)

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

mathematician

2

337

15 сен 2012, 17:17


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved