Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение уравнения теплопроводности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=22085
Страница 1 из 1

Автор:  Perzh [ 13 фев 2013, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Решение уравнения теплопроводности

Решаю уравнение теплопроводности:
[math]U_t = a^2 * U_{xx};[/math]
[math]U(0,t) = 0;[/math]
[math]U_x(l,t) + h * U(l,t) = 0;[/math]
[math]U(x,0) = \phi(x);[/math]
По методу разделения переменных представляю U в виде произведения X(x) и T(t). Подставляя в уравнение имеем следующее равенство:
[math]\frac{T^{'}}{a^2T} = \frac{X^{''}}{X} = -\lambda - const[/math]
Сначала для X(x) решаю задачу Штурма-Лиувилля нахождения собственных функций и чисел. Для таких граничных условий есть два решения: при [math]\lambda > 0[/math] и при [math]\lambda = 0[/math], причём второй случай возможен только при h = [math]\frac{-1}{l}[/math]. Вопрос: что делать дальше? Я нашёл функции T для каждого случая, но какой будет ответ?

Автор:  Perzh [ 13 фев 2013, 23:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения теплопроводности

Хотя наверно ещё стоит спросить как вообще задачу Штурма-Лиувилля решать в таком случае. Рассматривать как случай неоднородного граничного условия, т.е.:
[math]U_{x}(l,t) = -h * U(l,t)[/math]? Или можно рассматривать как однородное условие?

Автор:  Perzh [ 13 фев 2013, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения теплопроводности

А вообще то глупое предположение. Как можно рассматривать -h * U(l,t) как неоднородность, если мы не можем даже конкретную функцию подобрать, чтобы от неё избавиться?

Автор:  Prokop [ 14 фев 2013, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения теплопроводности

Perzh, всё стандартно.
Задача Штурма-Лиувилля, возникающая у Вас, имеет вид
[math]X''\left( x \right) + \lambda X\left( x \right) = 0[/math]
[math]X\left( 0 \right) = 0[/math]
[math]X'\left( l \right) + hX\left( l \right) = 0[/math]
Условие на правом конце стержня называется смешанным краевым условием или третьей краевой задачей. Оно (условие) возникает в силу теплообмена с внешней средой (закон Ньютона-Рихмана, задача Робена).
Из физических соображений следует, что [math]h > 0[/math] (это связано с коэффициентом теплообмена). Тогда случай [math]hl = - 1[/math] невозможен, и не будем его сейчас рассматривать (хотя, потом можно к нему вернуться).
Решая эту задачу, у Вас получится счётный набор ортогональных функций ([math]\lambda = \mu ^2[/math])
[math]X_n \left( x \right) = \sin \left({\mu _n x}\right)[/math], [math]n = 1,2, \ldots[/math],
где [math]\mu _n[/math]– положительные корни уравнения
[math]\operatorname{tg}\left({\mu l}\right) = - \frac{\mu}{h}[/math].
Далее решаете уравнение
[math]T'\left( t \right) + a\mu _n ^2 T\left( t \right) = 0[/math]
Получаете решения
[math]T_n \left( t \right) = C_n \exp \left({- a\mu _n ^2 t}\right)[/math]
и решение исходной задачи ищите в виде ряда Фурье
[math]u\left({x,t}\right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty{C_n \exp \left({- a\mu _n ^2 t}\right)X_n \left( x \right)}[/math]
Значения коэффициентов [math]C_n[/math] находите, используя начальное условие
[math]u\left({x,0}\right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty{C_n X_n \left( x \right)}= \phi \left( x \right)[/math]
т.е. [math]C_n[/math] – коэффициенты ряда Фурье функции [math]\phi \left( x \right)[/math] по ортогональной системе функций [math]X_n \left( x \right)[/math]
[math]C_n = \frac{{\left({\phi ,X_n}\right)}}{{\left\|{X_n}\right\|^2}}[/math]

Автор:  Perzh [ 14 фев 2013, 21:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения теплопроводности

Prokop, спасибо. Препод уже объяснил как делать) Дело в том, что про h ничего сказано не было и изза этого возникали неопределённости (я писал, что получаются несколько собственных функций), а по поводу его физического смысла я не подумал даже) Ещё раз спасибо. Кстати, если не секрет, УМФ входит в вашу профессиональную деятельность или просто вы умный студент?)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/