Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Perzh |
|
|
[math]U_t = a^2 * U_{xx};[/math] [math]U(0,t) = 0;[/math] [math]U_x(l,t) + h * U(l,t) = 0;[/math] [math]U(x,0) = \phi(x);[/math] По методу разделения переменных представляю U в виде произведения X(x) и T(t). Подставляя в уравнение имеем следующее равенство: [math]\frac{T^{'}}{a^2T} = \frac{X^{''}}{X} = -\lambda - const[/math] Сначала для X(x) решаю задачу Штурма-Лиувилля нахождения собственных функций и чисел. Для таких граничных условий есть два решения: при [math]\lambda > 0[/math] и при [math]\lambda = 0[/math], причём второй случай возможен только при h = [math]\frac{-1}{l}[/math]. Вопрос: что делать дальше? Я нашёл функции T для каждого случая, но какой будет ответ? |
||
Вернуться к началу | ||
Perzh |
|
|
Хотя наверно ещё стоит спросить как вообще задачу Штурма-Лиувилля решать в таком случае. Рассматривать как случай неоднородного граничного условия, т.е.:
[math]U_{x}(l,t) = -h * U(l,t)[/math]? Или можно рассматривать как однородное условие? |
||
Вернуться к началу | ||
Perzh |
|
|
А вообще то глупое предположение. Как можно рассматривать -h * U(l,t) как неоднородность, если мы не можем даже конкретную функцию подобрать, чтобы от неё избавиться?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Perzh, всё стандартно.
Задача Штурма-Лиувилля, возникающая у Вас, имеет вид [math]X''\left( x \right) + \lambda X\left( x \right) = 0[/math] [math]X\left( 0 \right) = 0[/math] [math]X'\left( l \right) + hX\left( l \right) = 0[/math] Условие на правом конце стержня называется смешанным краевым условием или третьей краевой задачей. Оно (условие) возникает в силу теплообмена с внешней средой (закон Ньютона-Рихмана, задача Робена). Из физических соображений следует, что [math]h > 0[/math] (это связано с коэффициентом теплообмена). Тогда случай [math]hl = - 1[/math] невозможен, и не будем его сейчас рассматривать (хотя, потом можно к нему вернуться). Решая эту задачу, у Вас получится счётный набор ортогональных функций ([math]\lambda = \mu ^2[/math]) [math]X_n \left( x \right) = \sin \left({\mu _n x}\right)[/math], [math]n = 1,2, \ldots[/math], где [math]\mu _n[/math]– положительные корни уравнения [math]\operatorname{tg}\left({\mu l}\right) = - \frac{\mu}{h}[/math]. Далее решаете уравнение [math]T'\left( t \right) + a\mu _n ^2 T\left( t \right) = 0[/math] Получаете решения [math]T_n \left( t \right) = C_n \exp \left({- a\mu _n ^2 t}\right)[/math] и решение исходной задачи ищите в виде ряда Фурье [math]u\left({x,t}\right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty{C_n \exp \left({- a\mu _n ^2 t}\right)X_n \left( x \right)}[/math] Значения коэффициентов [math]C_n[/math] находите, используя начальное условие [math]u\left({x,0}\right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty{C_n X_n \left( x \right)}= \phi \left( x \right)[/math] т.е. [math]C_n[/math] – коэффициенты ряда Фурье функции [math]\phi \left( x \right)[/math] по ортогональной системе функций [math]X_n \left( x \right)[/math] [math]C_n = \frac{{\left({\phi ,X_n}\right)}}{{\left\|{X_n}\right\|^2}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Human, mad_math, Perzh |
||
Perzh |
|
|
Prokop, спасибо. Препод уже объяснил как делать) Дело в том, что про h ничего сказано не было и изза этого возникали неопределённости (я писал, что получаются несколько собственных функций), а по поводу его физического смысла я не подумал даже) Ещё раз спасибо. Кстати, если не секрет, УМФ входит в вашу профессиональную деятельность или просто вы умный студент?)
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решение уравнения теплопроводности в matlab-е
в форуме Специальные разделы |
0 |
1014 |
03 мар 2016, 15:06 |
|
Аналитическое решение уравнения теплопроводности
в форуме Специальные разделы |
1 |
387 |
08 апр 2019, 12:03 |
|
Трёхмерное уравнение теплопроводности. Численное решение
в форуме Специальные разделы |
1 |
453 |
17 апр 2018, 08:25 |
|
Краевая задача для одномерного уравнения теплопроводности
в форуме Численные методы |
0 |
860 |
04 июн 2014, 18:34 |
|
Частное решение дифференциального уравнения\общее решение | 5 |
762 |
06 май 2014, 19:13 |
|
Уравнение теплопроводности
в форуме Специальные разделы |
2 |
336 |
16 май 2020, 15:53 |
|
Уравнение теплопроводности
в форуме Специальные разделы |
1 |
561 |
17 июн 2016, 16:54 |
|
Удельная теплопроводности проводника
в форуме Электричество и Магнетизм |
3 |
433 |
22 ноя 2020, 16:50 |
|
Решить уравнение теплопроводности
в форуме Численные методы |
2 |
544 |
23 дек 2021, 18:28 |
|
Уравнение теплопроводности методом фурье | 1 |
318 |
09 фев 2018, 21:58 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |