Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 13 фев 2013, 21:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2012, 18:38
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решаю уравнение теплопроводности:
[math]U_t = a^2 * U_{xx};[/math]
[math]U(0,t) = 0;[/math]
[math]U_x(l,t) + h * U(l,t) = 0;[/math]
[math]U(x,0) = \phi(x);[/math]
По методу разделения переменных представляю U в виде произведения X(x) и T(t). Подставляя в уравнение имеем следующее равенство:
[math]\frac{T^{'}}{a^2T} = \frac{X^{''}}{X} = -\lambda - const[/math]
Сначала для X(x) решаю задачу Штурма-Лиувилля нахождения собственных функций и чисел. Для таких граничных условий есть два решения: при [math]\lambda > 0[/math] и при [math]\lambda = 0[/math], причём второй случай возможен только при h = [math]\frac{-1}{l}[/math]. Вопрос: что делать дальше? Я нашёл функции T для каждого случая, но какой будет ответ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 13 фев 2013, 23:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2012, 18:38
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хотя наверно ещё стоит спросить как вообще задачу Штурма-Лиувилля решать в таком случае. Рассматривать как случай неоднородного граничного условия, т.е.:
[math]U_{x}(l,t) = -h * U(l,t)[/math]? Или можно рассматривать как однородное условие?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 13 фев 2013, 23:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2012, 18:38
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вообще то глупое предположение. Как можно рассматривать -h * U(l,t) как неоднородность, если мы не можем даже конкретную функцию подобрать, чтобы от неё избавиться?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 14:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Perzh, всё стандартно.
Задача Штурма-Лиувилля, возникающая у Вас, имеет вид
[math]X''\left( x \right) + \lambda X\left( x \right) = 0[/math]
[math]X\left( 0 \right) = 0[/math]
[math]X'\left( l \right) + hX\left( l \right) = 0[/math]
Условие на правом конце стержня называется смешанным краевым условием или третьей краевой задачей. Оно (условие) возникает в силу теплообмена с внешней средой (закон Ньютона-Рихмана, задача Робена).
Из физических соображений следует, что [math]h > 0[/math] (это связано с коэффициентом теплообмена). Тогда случай [math]hl = - 1[/math] невозможен, и не будем его сейчас рассматривать (хотя, потом можно к нему вернуться).
Решая эту задачу, у Вас получится счётный набор ортогональных функций ([math]\lambda = \mu ^2[/math])
[math]X_n \left( x \right) = \sin \left({\mu _n x}\right)[/math], [math]n = 1,2, \ldots[/math],
где [math]\mu _n[/math]– положительные корни уравнения
[math]\operatorname{tg}\left({\mu l}\right) = - \frac{\mu}{h}[/math].
Далее решаете уравнение
[math]T'\left( t \right) + a\mu _n ^2 T\left( t \right) = 0[/math]
Получаете решения
[math]T_n \left( t \right) = C_n \exp \left({- a\mu _n ^2 t}\right)[/math]
и решение исходной задачи ищите в виде ряда Фурье
[math]u\left({x,t}\right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty{C_n \exp \left({- a\mu _n ^2 t}\right)X_n \left( x \right)}[/math]
Значения коэффициентов [math]C_n[/math] находите, используя начальное условие
[math]u\left({x,0}\right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty{C_n X_n \left( x \right)}= \phi \left( x \right)[/math]
т.е. [math]C_n[/math] – коэффициенты ряда Фурье функции [math]\phi \left( x \right)[/math] по ортогональной системе функций [math]X_n \left( x \right)[/math]
[math]C_n = \frac{{\left({\phi ,X_n}\right)}}{{\left\|{X_n}\right\|^2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Human, mad_math, Perzh
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 21:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2012, 18:38
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо. Препод уже объяснил как делать) Дело в том, что про h ничего сказано не было и изза этого возникали неопределённости (я писал, что получаются несколько собственных функций), а по поводу его физического смысла я не подумал даже) Ещё раз спасибо. Кстати, если не секрет, УМФ входит в вашу профессиональную деятельность или просто вы умный студент?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение уравнения теплопроводности в matlab-е

в форуме Специальные разделы

Qwerty2

0

1014

03 мар 2016, 15:06

Аналитическое решение уравнения теплопроводности

в форуме Специальные разделы

crazymadman18

1

387

08 апр 2019, 12:03

Трёхмерное уравнение теплопроводности. Численное решение

в форуме Специальные разделы

KRIZH

1

453

17 апр 2018, 08:25

Краевая задача для одномерного уравнения теплопроводности

в форуме Численные методы

Fencer

0

860

04 июн 2014, 18:34

Частное решение дифференциального уравнения\общее решение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Swissboy

5

762

06 май 2014, 19:13

Уравнение теплопроводности

в форуме Специальные разделы

Yaroslav171

2

336

16 май 2020, 15:53

Уравнение теплопроводности

в форуме Специальные разделы

oksanaku

1

561

17 июн 2016, 16:54

Удельная теплопроводности проводника

в форуме Электричество и Магнетизм

Lerw

3

433

22 ноя 2020, 16:50

Решить уравнение теплопроводности

в форуме Численные методы

qwerty1234512

2

544

23 дек 2021, 18:28

Уравнение теплопроводности методом фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

qvwolfie

1

318

09 фев 2018, 21:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved