Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти решение задачи Коши
СообщениеДобавлено: 25 май 2012, 21:04 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2011, 19:45
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
y''-3y'=9/(1+3e^(3x)) , y(0)=4ln4, y'(0)=3(3ln4-1)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти решение задачи Коши
СообщениеДобавлено: 17 июн 2012, 10:12 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Линейное неоднородное ДУ 2 порядка в нормальной форме с правой частью в неспециальном виде.
1. Решаете соответствующее однородное уравнение. Решение ищется в виде y = e^(kx). Подставляете в однородное уравнение, сокращаете на экспоненту - получаете характеристическое уравнение, которое решаете, находите ki. Короче строите ФСР. Строите общее решение однородного уравнения.
2. Примените метод вариации постоянной. То есть постоянные, которые у вас в общем решении - теперь функции от икс. Пусть y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + ... + Cn(x)yn(x), тогда Ci(x) находятся из системы:

C1'(x)y1(x) + C2'(x)y2(x) + ... + Cn'(x)yn(x) = 0
C1'(x)y1'(x) + C2'(x)y2'(x) + ... + Cn'(x)yn'(x) = 0
C1'(x)y1''(x) + C2'(x)y2''(x) + ... + Cn'(x)yn''(x) = 0
...
C1'(x)y1[n-1](x) + C2'(x)y2[n-1](x) + ... + Cn'(x)yn[n-1](x) = f(x) / a0

где [n-1] - (n-1)-я производная, f(x) - правая часть исходного уравнения, a0 = 1 - коэффициент перед y''

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти решение задачи Коши
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 14:34 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно понизить порядок:

[math]\begin{aligned} y'' - 3y' &= \frac{9}{1 + 3e^{3x}} \\ (y' - 3y)' &= \frac{9}{1 + 3e^{3x}} \\ y' - 3y &= 9\int \frac{dx}{1+3e^{3x}}= 9\int \frac{e^{-3x}\,dx}{e^{-3x} + 3}= -3\int \frac{d(e^{-3x}+3)}{e^{-3x}+3}= C-3\ln (e^{-3x}+3)=\\ &=C-3\ln\frac{1+3e^{3x}}{e^{3x}}= C-3\Bigl(\ln(1+3e^{3x})- \ln e^{3x}\Bigr)= C+9x-3\ln(1+3e^{3x}) \end{aligned}[/math]

Подставим начальные условия [math]y(0) = 4\ln 4, ~ y'(0) = 3(3\ln 4 - 1)[/math]:

[math]3(3\ln 4 - 1) - 3 \cdot 4\ln 4 = C - 3\ln 4~~ \Leftrightarrow~~ C = - 3}[/math]

Итак, после понижения порядка, получили линейное уравнения первого порядка [math]y' - 3y = 9x - 3\ln (1 + 3e^{3x}) - 3[/math], которое, я надеюсь, Вы знаете как решается.


Последний раз редактировалось Alexdemath 18 июн 2012, 18:58, всего редактировалось 2 раз(а).
Исправил описку

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

petua31

13

2152

30 май 2015, 12:54

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

1

277

08 янв 2018, 07:19

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ollaner

1

594

25 май 2014, 13:49

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Alex Bin

3

416

10 июн 2015, 02:29

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Shamil

10

385

26 мар 2019, 14:35

Найти решение задачи коши.

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

1

463

03 июн 2015, 18:42

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Xor

1

495

06 июн 2014, 19:24

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Tom18

6

897

14 апр 2021, 14:11

Найти решение Задачи Коши для оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

dair

11

1067

11 июн 2014, 22:02

Найти фундаментальное решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

BlackIce

3

686

23 июн 2014, 20:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved