Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача Дирихле для круга
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 00:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 фев 2012, 20:52
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
нужно решить задачу Дирихле, не знаю с чего начать
Изображение
Везде теория, не могу найти хотя бы один решенный подобный пример, а с одной теорией решить не могу :fool:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Дирихле для круга
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 07:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите этот реферат.
Задача Дирихле в круге, несколько разобранных случаев.
http://www.bestreferat.ru/referat-218872.html

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Дирихле для круга
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 08:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не знаю, как Вас учили решать. Но, какой бы путь решения задачи Дирихле в круге не избрать, в основе лежит разложение по гармоническим функциям. Поэтому выберем кондовый путь. В полярных координатах гармонические функции на плоскости имеют вид:
[math]r^n \cos n\phi[/math],[math]r^n \sin n\phi[/math].
Следовательно, если на границе единичного круга задана функция [math]f\left( \phi \right)[/math], ряд Фурье которой имеет вид
[math]f\left( \phi \right) = \frac{{a_0 }}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n \cos n\phi + b_n \sin n\phi } \right)}[/math]
то решением задачи Дирихле в единичном круге является функция
[math]u = \frac{{a_0 }}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {r^n \left( {a_n \cos n\phi + b_n \sin n\phi } \right)}[/math]
В Вашем случае краевое условие имеет вид
[math]\left. {u\left( {x,y} \right)} \right|_{r = 1} = x^3 = \cos ^3 \phi = f\left( \phi \right)[/math]
Ряд Фурье для этой функции очевиден (вспомните формулу для тройного угла)
[math]f\left( \phi \right) = \cos ^3 \phi = \frac{1}{4}\left( {\cos 3\phi + 3\cos \phi } \right)[/math]
Поэтому решением Вашей задачи будет функция
[math]\begin{gathered} u = \frac{1}{4}\left( {r^3 \cos 3\phi + 3r\cos \phi } \right) = \frac{1}{4}\left( {r^3 \left( {4\cos ^3 \phi - 3\cos \phi } \right) + 3r\cos \phi } \right) = \hfill \\ = \frac{1}{4}\left( {4r^3 \cos ^3 \phi - 3r^2 r\cos \phi + 3r\cos \phi } \right) = x^3 - \frac{3}{4}\left( {x^2 +y^2}\right)x + \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}xy^2 + \frac{3}{4}x \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Goshayah
 Заголовок сообщения: Re: Задача Дирихле для круга
СообщениеДобавлено: 04 фев 2012, 14:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 фев 2012, 20:52
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, Прокоп)) отлично расписал)))
Shaman, в реферате нет конкретного примера, у меня не получалось перейти обратно в (x,y), не могла сообразить, что r^2 это (x^2+y^2). Прокоп разъяснил это.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача Дирихле для круга

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

yapyanchzhanchzhen

1

221

20 май 2019, 21:28

Внутренняя задача Дирихле для круга

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

d_kosolapov

5

438

06 апр 2018, 19:20

Геометрическая задача на принцип Дирихле?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

avallon

5

883

22 мар 2017, 21:01

Задача Дирихле для уравнения Пуассона

в форуме Специальные разделы

MagmichkA

3

537

02 апр 2017, 15:44

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ryslannn

8

379

09 июл 2020, 21:37

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ryslannn

12

593

13 июл 2020, 15:01

Задача Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Aigul

3

369

13 фев 2015, 01:37

Признак Дирихле

в форуме Ряды

lena01

5

195

26 окт 2023, 14:00

Принцип Дирихле

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Rosenrot

3

584

25 янв 2015, 23:47

Принцип Дирихле

в форуме Теория чисел

silversurficus

9

524

13 июл 2021, 14:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved