Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Goshayah |
|
|
Везде теория, не могу найти хотя бы один решенный подобный пример, а с одной теорией решить не могу |
||
Вернуться к началу | ||
Shaman |
|
|
Посмотрите этот реферат.
Задача Дирихле в круге, несколько разобранных случаев. http://www.bestreferat.ru/referat-218872.html |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Не знаю, как Вас учили решать. Но, какой бы путь решения задачи Дирихле в круге не избрать, в основе лежит разложение по гармоническим функциям. Поэтому выберем кондовый путь. В полярных координатах гармонические функции на плоскости имеют вид:
[math]r^n \cos n\phi[/math],[math]r^n \sin n\phi[/math]. Следовательно, если на границе единичного круга задана функция [math]f\left( \phi \right)[/math], ряд Фурье которой имеет вид [math]f\left( \phi \right) = \frac{{a_0 }}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n \cos n\phi + b_n \sin n\phi } \right)}[/math] то решением задачи Дирихле в единичном круге является функция [math]u = \frac{{a_0 }}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {r^n \left( {a_n \cos n\phi + b_n \sin n\phi } \right)}[/math] В Вашем случае краевое условие имеет вид [math]\left. {u\left( {x,y} \right)} \right|_{r = 1} = x^3 = \cos ^3 \phi = f\left( \phi \right)[/math] Ряд Фурье для этой функции очевиден (вспомните формулу для тройного угла) [math]f\left( \phi \right) = \cos ^3 \phi = \frac{1}{4}\left( {\cos 3\phi + 3\cos \phi } \right)[/math] Поэтому решением Вашей задачи будет функция [math]\begin{gathered} u = \frac{1}{4}\left( {r^3 \cos 3\phi + 3r\cos \phi } \right) = \frac{1}{4}\left( {r^3 \left( {4\cos ^3 \phi - 3\cos \phi } \right) + 3r\cos \phi } \right) = \hfill \\ = \frac{1}{4}\left( {4r^3 \cos ^3 \phi - 3r^2 r\cos \phi + 3r\cos \phi } \right) = x^3 - \frac{3}{4}\left( {x^2 +y^2}\right)x + \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}xy^2 + \frac{3}{4}x \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Goshayah |
||
Goshayah |
|
|
Спасибо, Прокоп)) отлично расписал)))
Shaman, в реферате нет конкретного примера, у меня не получалось перейти обратно в (x,y), не могла сообразить, что r^2 это (x^2+y^2). Прокоп разъяснил это. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача Дирихле для круга | 1 |
221 |
20 май 2019, 21:28 |
|
Внутренняя задача Дирихле для круга | 5 |
438 |
06 апр 2018, 19:20 |
|
Геометрическая задача на принцип Дирихле?
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
883 |
22 мар 2017, 21:01 |
|
Задача Дирихле для уравнения Пуассона
в форуме Специальные разделы |
3 |
537 |
02 апр 2017, 15:44 |
|
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге | 8 |
379 |
09 июл 2020, 21:37 |
|
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге | 12 |
593 |
13 июл 2020, 15:01 |
|
Задача Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения | 3 |
369 |
13 фев 2015, 01:37 |
|
Признак Дирихле
в форуме Ряды |
5 |
195 |
26 окт 2023, 14:00 |
|
Принцип Дирихле
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
3 |
584 |
25 янв 2015, 23:47 |
|
Принцип Дирихле
в форуме Теория чисел |
9 |
524 |
13 июл 2021, 14:57 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |