Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить задачу Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=12446
Страница 1 из 2

Автор:  free0661 [ 25 дек 2011, 15:10 ]
Заголовок сообщения:  Решить задачу Коши

Решить задачу Коши:

xy’-2y=2x4 , y(1)=0

Автор:  Yurik [ 25 дек 2011, 15:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

[math]\begin{gathered} xy' - 2y = 2{x^4},\,\,\,y\left( 1 \right) = 0 \hfill \\ \frac{{y'}}{{{x^2}}} - \frac{{2y}}{{{x^3}}} = 2x \hfill \\ {\left( {\frac{y}{{{x^2}}}} \right)^'} = \frac{{y'}}{{{x^2}}} - \frac{{2y}}{{{x^3}}}\,\,\, = > \,\,\,\frac{y}{{{x^2}}} = 2\int_{}^{} {xdx} = {x^2} + C \hfill \\ \frac{0}{1} = 1 + C\,\,\, = > \,\,\,C = - 1 \hfill \\ \frac{y}{{{x^2}}} = {x^2} - 1\,\,\, = > \,\,\,\,\boxed{y = {x^4} - {x^2}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  free0661 [ 25 дек 2011, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

А каким способом была решена задача?

Автор:  Yurik [ 25 дек 2011, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

Это линейное уравнение первого порядка. Но с помощью несложных преобразований в левой части уравнения можно получить производную сложной функции, и тогда решение значительно упрощается.

Автор:  free0661 [ 25 дек 2011, 21:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

А могли бы вы по подробнее расписать решение? Просто не могу понять что происходит начиная с третьей строки.

Автор:  pewpimkin [ 25 дек 2011, 21:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

Изображение

Автор:  Yurik [ 25 дек 2011, 21:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

В третьей строке я показываю, что производная сложной функции равна левой части уравнения. И тогда интеграл правой части будет равен этой сложной функции. Берём интеграл, и остаётся из полученного выражения "вытащить" игрек. Решение готово.

Автор:  free0661 [ 27 дек 2011, 14:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

решить задачу Коши:
y'+ytgx=secx ,y(0)=0

Автор:  Yurik [ 27 дек 2011, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

[math]\begin{gathered} {\text{y}}' + {\text{ytgx}} = {\text{secx }},{\text{y}}\left( 0 \right) = 0 \hfill \\ \mu \left( x \right) = \exp \left( {\int_{}^{} {tg\,x\,dx} } \right) = {e^{\ln \left| {\frac{1}{{\cos x}}} \right|}} = \sec x \hfill \\ \frac{{{\text{y}}'}}{{\cos x}} + \frac{{{\text{ysinx}}}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \hfill \\ {\left( {\frac{{\text{y}}}{{\cos x}}} \right)^1} = \frac{{{\text{y}}'}}{{\cos x}} + \frac{{{\text{ysinx}}}}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\, = > \,\,\,\frac{{\text{y}}}{{\cos x}} = \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = tgx + C \hfill \\ \frac{0}{1} = 0 + C\,\, = > \,\,C = 0 \hfill \\ \frac{{\text{y}}}{{\cos x}} = tgx\,\,\, = > \,\,\,\boxed{y = \sin x} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  pewpimkin [ 27 дек 2011, 14:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

Изображение
Yurik, опять опередили

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/