Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Решить задачу Коши http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=12446 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | free0661 [ 25 дек 2011, 15:10 ] |
Заголовок сообщения: | Решить задачу Коши |
Решить задачу Коши: xy’-2y=2x4 , y(1)=0 |
Автор: | Yurik [ 25 дек 2011, 15:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
[math]\begin{gathered} xy' - 2y = 2{x^4},\,\,\,y\left( 1 \right) = 0 \hfill \\ \frac{{y'}}{{{x^2}}} - \frac{{2y}}{{{x^3}}} = 2x \hfill \\ {\left( {\frac{y}{{{x^2}}}} \right)^'} = \frac{{y'}}{{{x^2}}} - \frac{{2y}}{{{x^3}}}\,\,\, = > \,\,\,\frac{y}{{{x^2}}} = 2\int_{}^{} {xdx} = {x^2} + C \hfill \\ \frac{0}{1} = 1 + C\,\,\, = > \,\,\,C = - 1 \hfill \\ \frac{y}{{{x^2}}} = {x^2} - 1\,\,\, = > \,\,\,\,\boxed{y = {x^4} - {x^2}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
Автор: | free0661 [ 25 дек 2011, 19:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
А каким способом была решена задача? |
Автор: | Yurik [ 25 дек 2011, 19:30 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
Это линейное уравнение первого порядка. Но с помощью несложных преобразований в левой части уравнения можно получить производную сложной функции, и тогда решение значительно упрощается. |
Автор: | free0661 [ 25 дек 2011, 21:10 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
А могли бы вы по подробнее расписать решение? Просто не могу понять что происходит начиная с третьей строки. |
Автор: | pewpimkin [ 25 дек 2011, 21:28 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
Автор: | Yurik [ 25 дек 2011, 21:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
В третьей строке я показываю, что производная сложной функции равна левой части уравнения. И тогда интеграл правой части будет равен этой сложной функции. Берём интеграл, и остаётся из полученного выражения "вытащить" игрек. Решение готово. |
Автор: | free0661 [ 27 дек 2011, 14:14 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
решить задачу Коши: y'+ytgx=secx ,y(0)=0 |
Автор: | Yurik [ 27 дек 2011, 14:39 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
[math]\begin{gathered} {\text{y}}' + {\text{ytgx}} = {\text{secx }},{\text{y}}\left( 0 \right) = 0 \hfill \\ \mu \left( x \right) = \exp \left( {\int_{}^{} {tg\,x\,dx} } \right) = {e^{\ln \left| {\frac{1}{{\cos x}}} \right|}} = \sec x \hfill \\ \frac{{{\text{y}}'}}{{\cos x}} + \frac{{{\text{ysinx}}}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \hfill \\ {\left( {\frac{{\text{y}}}{{\cos x}}} \right)^1} = \frac{{{\text{y}}'}}{{\cos x}} + \frac{{{\text{ysinx}}}}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\, = > \,\,\,\frac{{\text{y}}}{{\cos x}} = \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = tgx + C \hfill \\ \frac{0}{1} = 0 + C\,\, = > \,\,C = 0 \hfill \\ \frac{{\text{y}}}{{\cos x}} = tgx\,\,\, = > \,\,\,\boxed{y = \sin x} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
Автор: | pewpimkin [ 27 дек 2011, 14:40 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Решить задачу Коши |
Yurik, опять опередили |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |