Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 00:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2011, 00:21
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача из сборника задач по мат.физике Будака.
№ 51.
Найти температуру стержня (0<X<L) с теплоизолированной боковой поверхностью, имеющего форму усеченного конуса (см. задачу 17), если температура концов стержня поддерживается равной нулю, а начальная температура стержня произвольна.

Задача 17: Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагретого стержня, имеющего форму усеченного конуса, пренебрегая искривлением изотермических поверхностей, если концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплоообмен со средой, температура которой равна нулю.

Я не могу составить изначальное дифференциальное уравнение. Я понимаю, что стандратное "вторая производная по координате равна первой производной по времени с каким-то коэффициентом" не подходит, но как вывести подходящее - ума не приложу. ((( В методичке и книге такого нет. Там только упоминания про стержень и плоскость, а вот про геометрические фигуры - увы, ни слова. Подскажите, хотя бы в каком направлении думать!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 15:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В этом задачнике есть ответы и указания.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 16:08 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
:)
Так напишите указания и ответы, у меня нет этого задачника :oops: , но тоже интересно, как с этим бороться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 16:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2011, 00:21
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я знаю, что там есть ответ. НО мне то нужно решение! МНе нужно понять, какое уравнение надо решать, а уже решить его я смогу... Вот в чем проблема. А на этот вопрос к данной задаче там ответа НЕТ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 16:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Valleri
Уравнение выписано в гл. 3, стр. 289.
Alexdemath
Эта книга качается с сайта
http://gen.lib.rus.ec/

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 20:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2011, 00:21
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Я же писала, что не знаю, как вывести его. Мне нужно именно что получить его.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: построение краевой задачи (уравнения параболического типа)
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2011, 22:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Prokop
:)
Так напишите указания и ответы, у меня нет этого задачника :oops: , но тоже интересно, как с этим бороться.

Простите Valleri, но Вы писали, что не можете понять, какое уравнение надо решать, а уж решить сможете.
Следуя страницам 283 и 284 книги, выведем уравнение на странице 289. Признаюсь, буду нагло списывать оттуда слова.
На рисунке изображено осевое сечение конусообразного стержня
Изображение
Надеюсь, что рисунок понятен. Здесь
[math]L[/math] – высота полного конуса, получающегося продолжением данного стержня,
[math]r_0[/math] – радиус большего основания усечённого конуса, [math]l[/math] – его высота. Отметим, что радиус [math]r[/math] конуса зависит от [math]x[/math] линейно
[math]r = r_0 \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)[/math]
Поэтому площадь сечения вычисляется по формле
[math]\sigma = \pi r^2 = \pi r_0 ^2 \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)^2[/math]
а периметр сечения
[math]p = 2\pi r = 2\pi r_0 \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)[/math]
Далее, как обычно, [math]\lambda ,\;c,\;\rho[/math] - коэффициент теплопроводности, удельная теплоёмкость и плотность массы материала конуса, [math]\alpha[/math] - коэффициент конвективного теплообмена между поверхностью конуса и окружающей средой.
Уравнение теплопроводности можно получить, приравнивая приращение за единицу времени количества тепла в элементе [math]\left( {x,x + \Delta x} \right)[/math]
стержня, равное
[math]c\rho \sigma \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\Delta x[/math]
разности количества тепла, поступившего в этот элемент за единицу времени через сечения
[math]\left. {\sigma \lambda \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_{x + \Delta x} - \left. {\sigma \lambda \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_x[/math]
и количества тепла, участвующего в теплообмене с окружающей средой
[math]\alpha p\frac{{\Delta x}}{{\cos \gamma }}u[/math]
Так получается равенство с точностью до первого порядка малости относительно [math]\Delta x[/math]
[math]c\rho \sigma \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\Delta x = \lambda \left( {\left. {\sigma \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_{x + \Delta x} - \left. {\sigma \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_x } \right) - \alpha p\frac{{\Delta x}}{{\cos \gamma }}u[/math]
Поделив на [math]c\rho \pi r_0 ^2 \Delta x[/math] и устремив [math]\Delta x[/math] к нулю, приходим к уравнению
[math]\left( {1 - \frac{x}{L}} \right)^2 \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = a^2 \frac{\partial}{{\partial x}}\left( {\left( {1 - \frac{x}{L}} \right)^2 \frac{{\partial u}}{{\partial x}}}\right) - \frac{{2\alpha \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)}}{{c\rho r_0 \cos \gamma }}u[/math],
[math]0 < x < l,\quad t > 0,\;a^2 = \frac{\lambda }{{c\rho }}[/math]
Начальные и краевые условия очевидны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, valentina
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение краевой задачи

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

oltmp

11

486

07 май 2020, 17:12

Решение краевой задачи y''+y'=1, y'(0)=0,y(1)=1

в форуме Дифференциальное исчисление

Lorf12

2

207

15 мар 2023, 16:32

Матрица Грина для краевой задачи

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

constantin01

0

166

01 дек 2019, 11:55

Решение смешанной краевой задачи

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

OKKsana

0

180

16 май 2020, 21:14

Решение краевой задачи ОДУ спектральным методом

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

slava_psk

10

1394

05 май 2019, 11:21

Приближенное решение краевой задачи методом Галеркина

в форуме Численные методы

befree666

0

348

21 янв 2015, 02:17

Решение начально-краевой задачи методом Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

evaf

0

383

01 ноя 2017, 22:40

Решение одномерной краевой задачи методом разностных схем

в форуме Численные методы

fretyno

10

1082

20 ноя 2016, 05:02

Как решать задачи подобного типа?

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

al3x

2

372

22 мар 2022, 21:29

Как решать задачи подобного типа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ponoptikum

6

406

20 янв 2019, 19:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved