Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Valleri |
|
|
№ 51. Найти температуру стержня (0<X<L) с теплоизолированной боковой поверхностью, имеющего форму усеченного конуса (см. задачу 17), если температура концов стержня поддерживается равной нулю, а начальная температура стержня произвольна. Задача 17: Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагретого стержня, имеющего форму усеченного конуса, пренебрегая искривлением изотермических поверхностей, если концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплоообмен со средой, температура которой равна нулю. Я не могу составить изначальное дифференциальное уравнение. Я понимаю, что стандратное "вторая производная по координате равна первой производной по времени с каким-то коэффициентом" не подходит, но как вывести подходящее - ума не приложу. ((( В методичке и книге такого нет. Там только упоминания про стержень и плоскость, а вот про геометрические фигуры - увы, ни слова. Подскажите, хотя бы в каком направлении думать! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
В этом задачнике есть ответы и указания.
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Prokop
Так напишите указания и ответы, у меня нет этого задачника , но тоже интересно, как с этим бороться. |
||
Вернуться к началу | ||
Valleri |
|
|
Я знаю, что там есть ответ. НО мне то нужно решение! МНе нужно понять, какое уравнение надо решать, а уже решить его я смогу... Вот в чем проблема. А на этот вопрос к данной задаче там ответа НЕТ.
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Valleri
Уравнение выписано в гл. 3, стр. 289. Alexdemath Эта книга качается с сайта http://gen.lib.rus.ec/ |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math |
||
Valleri |
|
|
Prokop
Я же писала, что не знаю, как вывести его. Мне нужно именно что получить его. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Alexdemath писал(а): Prokop Так напишите указания и ответы, у меня нет этого задачника , но тоже интересно, как с этим бороться. Простите Valleri, но Вы писали, что не можете понять, какое уравнение надо решать, а уж решить сможете. Следуя страницам 283 и 284 книги, выведем уравнение на странице 289. Признаюсь, буду нагло списывать оттуда слова. На рисунке изображено осевое сечение конусообразного стержня Надеюсь, что рисунок понятен. Здесь [math]L[/math] – высота полного конуса, получающегося продолжением данного стержня, [math]r_0[/math] – радиус большего основания усечённого конуса, [math]l[/math] – его высота. Отметим, что радиус [math]r[/math] конуса зависит от [math]x[/math] линейно [math]r = r_0 \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)[/math] Поэтому площадь сечения вычисляется по формле [math]\sigma = \pi r^2 = \pi r_0 ^2 \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)^2[/math] а периметр сечения [math]p = 2\pi r = 2\pi r_0 \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)[/math] Далее, как обычно, [math]\lambda ,\;c,\;\rho[/math] - коэффициент теплопроводности, удельная теплоёмкость и плотность массы материала конуса, [math]\alpha[/math] - коэффициент конвективного теплообмена между поверхностью конуса и окружающей средой. Уравнение теплопроводности можно получить, приравнивая приращение за единицу времени количества тепла в элементе [math]\left( {x,x + \Delta x} \right)[/math] стержня, равное [math]c\rho \sigma \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\Delta x[/math] разности количества тепла, поступившего в этот элемент за единицу времени через сечения [math]\left. {\sigma \lambda \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_{x + \Delta x} - \left. {\sigma \lambda \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_x[/math] и количества тепла, участвующего в теплообмене с окружающей средой [math]\alpha p\frac{{\Delta x}}{{\cos \gamma }}u[/math] Так получается равенство с точностью до первого порядка малости относительно [math]\Delta x[/math] [math]c\rho \sigma \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\Delta x = \lambda \left( {\left. {\sigma \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_{x + \Delta x} - \left. {\sigma \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|_x } \right) - \alpha p\frac{{\Delta x}}{{\cos \gamma }}u[/math] Поделив на [math]c\rho \pi r_0 ^2 \Delta x[/math] и устремив [math]\Delta x[/math] к нулю, приходим к уравнению [math]\left( {1 - \frac{x}{L}} \right)^2 \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = a^2 \frac{\partial}{{\partial x}}\left( {\left( {1 - \frac{x}{L}} \right)^2 \frac{{\partial u}}{{\partial x}}}\right) - \frac{{2\alpha \left( {1 - \frac{x}{L}} \right)}}{{c\rho r_0 \cos \gamma }}u[/math], [math]0 < x < l,\quad t > 0,\;a^2 = \frac{\lambda }{{c\rho }}[/math] Начальные и краевые условия очевидны. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, valentina |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решение краевой задачи y''+y'=1, y'(0)=0,y(1)=1
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
207 |
15 мар 2023, 16:32 |
|
Решение краевой задачи | 11 |
485 |
07 май 2020, 17:12 |
|
Матрица Грина для краевой задачи | 0 |
163 |
01 дек 2019, 11:55 |
|
Решение смешанной краевой задачи | 0 |
179 |
16 май 2020, 21:14 |
|
Решение краевой задачи ОДУ спектральным методом | 10 |
1394 |
05 май 2019, 11:21 |
|
Решение начально-краевой задачи методом Фурье | 0 |
382 |
01 ноя 2017, 22:40 |
|
Приближенное решение краевой задачи методом Галеркина
в форуме Численные методы |
0 |
346 |
21 янв 2015, 02:17 |
|
Решение одномерной краевой задачи методом разностных схем
в форуме Численные методы |
10 |
1081 |
20 ноя 2016, 05:02 |
|
Как решать задачи подобного типа? | 2 |
372 |
22 мар 2022, 21:29 |
|
Как решать задачи подобного типа
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
405 |
20 янв 2019, 19:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |