Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Аппроксимация точек прямой и параболой с помощью МНК
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=37&t=9345
Страница 1 из 1

Автор:  DMart92 [ 10 ноя 2011, 13:52 ]
Заголовок сообщения:  Аппроксимация точек прямой и параболой с помощью МНК

Даны результаты 10 измерений некоторой величины y=y(x):

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Yi -2.5 -6.7 -7.9 -8.5 -6.7 -6.3 -3.3 0.3 4.0 9.2

При помощи метода наименьших квадратов найти функцию, приближенно принимающую таблицу значений,
1) линейную y=ax+b,
2) квадратичную y=ax^2 + bx+c,
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была минимальной.
Сделать чертёж.

Автор:  VSI [ 10 ноя 2011, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

Загляните СЮДА:
Портал » Список форумов » Высшая математика » Математическая статистика и Эконометрика » Метод наименьших квадратов
На 90% Ваша задача (с решением)

Автор:  DMart92 [ 10 ноя 2011, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

Спасибо большое за помощь:)

Автор:  Alexdemath [ 11 ноя 2011, 06:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Аппроксимация точек прямой и параболой с помощью МНК

Аппроксимация линейным или нелинейным МНК: прямой и параболой второго порядкаСмотрите чертёж к задаче.
Воспользуйтесь сервисом МНК и регрессионный анализ Онлайн.

Сначала составим таблицу со вспомогательными расчётами

Расчет коэффициентов уравнения параболической регрессии















1) [math]y = ax + b[/math], где

[math]\textstyle{\left\{\!\begin{gathered}a\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}+bn=\sum\limits_{i=1}^n{{y_i}},\hfill\\a\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}+b\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}=\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}{y_i};\hfill\end{gathered}\right.~\Rightarrow~\begin{cases}65a+10b=-28,\!4,\\505a+65b=-66;\end{cases}}[/math]

[math]\begin{aligned}\Delta&=\begin{vmatrix}{65}&{10}\\{505}&{65}\end{vmatrix}=4225-5050=-825;\\\Delta{a}&=\begin{vmatrix}{-28,\!4}&{10}\\{-66}&{65}\end{vmatrix}=-1846+660=-1186~\Rightarrow~a=\frac{\Delta{a}}{\Delta}=\frac{{-1186}}{{-825}}=\frac{{1186}}{{825}}\approx1,\!438;\\ \Delta{b}&=\begin{vmatrix}{65}&{-28,4}\\{505}&{-66}\end{vmatrix}=-4290+14342=10052~\Rightarrow~b=\frac{\Delta{b}}{\Delta}=\frac{{10052}}{{-825}}=-\frac{{10052}}{{825}}\approx-12,\!184;\\[5pt] &\boxed{y=1,\!438x-12,\!184}\end{aligned}[/math]

2) [math]y=ax^2+bx+c[/math], где

[math]\textstyle{\left\{\begin{gathered}a\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}+b\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}+nc=\sum\limits_{i=1}^n{{y_i}},\hfill\\a\sum\limits_{i=1}^n{x_i^3}+b\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}+c\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}=\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}{y_i},\hfill\\a\sum\limits_{i=1}^n{x_i^4}+b\sum\limits_{i=1}^n{x_i^3}+c\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}=\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}{y_i};\hfill\\\end{gathered}\right.~\Rightarrow~\begin{cases}505a+65b+10c=-28,4,\\4355a+505b+65c=-66,\\39973a+4355b+505c=367,2;\end{cases}}[/math]

[math]\begin{aligned}\Delta&=\begin{vmatrix}{505}&{65}&{10}\\{4355}&{505}&{65}\\{39973}&{4355}&{505}\end{vmatrix}=\ldots=-435600;\\ \Delta{a}&=\begin{vmatrix}{-28,\!4}&{65}&{10}\\{-66}&{505}&{65}\\{367,\!2}&{4355}&{505}\end{vmatrix}=\ldots=-214170~\Rightarrow~a=\frac{\Delta{a}}{\Delta}=\frac{{-214170}}{{-435600}}=\frac{{59}}{{120}}\approx0,\!492;\\ \Delta{b}&=\begin{vmatrix}{505}&{-28,\!4}&{10}\\{4355}&{-66}&{65}\\{39973}&{367,\!2}&{505}\end{vmatrix}=\ldots=2158002~\Rightarrow~b=\frac{\Delta{b}}{\Delta}=\frac{{2158002}}{{-435600}}=-\frac{{10899}}{{2200}}\approx-4,\!954;\\ \Delta{c}&=\begin{vmatrix}{505}&{65}&{-28,\!4}\\{4355}&{505}&{-66}\\{39973}&{4355}&{367,\!2}\end{vmatrix}=\ldots=-1974324~\Rightarrow~c=\frac{\Delta{c}}{\Delta}=\frac{{-1974324}}{{-435600}}=\frac{{14957}}{{3300}}\approx4,\!532.\\[5pt] &\boxed{y=0,\!492x^2-4,\!954x+4,\!532}\end{aligned}[/math]

Автор:  zarema [ 05 дек 2011, 18:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Аппроксимация точек прямой и параболой с помощью МНК

спасибо большое

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/