Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Метод наименьших квадратов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=37&t=9102
Страница 1 из 3

Автор:  gulya [ 04 ноя 2011, 09:18 ]
Заголовок сообщения:  Метод наименьших квадратов

Здравствуйте помогите пожалуйста решить данную задачу...я такое задание не решала никогда..а в интернете даже подобных нету..пожалуйста если знаете помогите мне ..

В результате эксперимента получены данные, выписанные в виде таблицы. Методом наименьших квадратов требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х: y=f(x)

x0,51,52,53,54,55,5
y0,55,56,58,59,59

Воспользуйтесь сервисом МНК и регрессионный анализ Онлайн.

Автор:  lexus666 [ 04 ноя 2011, 11:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

gulya

Если вы читали теорию, напишите что такое метод наименьших квадратов, для начала дальнейшей беседы

Автор:  gulya [ 04 ноя 2011, 12:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

Суть метода наименьших квадратов (МНК).

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.Изображение

так да

Автор:  lexus666 [ 04 ноя 2011, 12:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

Замечательно, теперь нужно найти значения [math]a,b[/math] для которых приведенная вами функция имеет минимум. Т. е. нужно взять производные по величинам [math]a,b[/math] и приравнять их к нулю откуда получите систему уравнений:
[math]\left\{ \begin{array}{l} a\sum\limits_{i=1}^Nx_i+Nb=\sum\limits_{i=1}^Ny_i \\ a\sum\limits_{i=1}^Nx_i^2+b\sum\limits_{i=1}^Nx_i=\sum\limits_{i=1}^Ny_ix_i \end{array}[/math]
и решаете ее относительно неизвестных [math]a,b[/math]

Автор:  gulya [ 04 ноя 2011, 12:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

неа я не смогу(((
я не знаю даже что подставлять..

Автор:  Alexdemath [ 04 ноя 2011, 14:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

lexus666

Похоже здесь надо аппроксимировать квадратичным трёхчленом.


gulya
По какому предмету задание?

Автор:  gulya [ 04 ноя 2011, 16:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

высшая математика Линейная алгебра

Автор:  Alexdemath [ 04 ноя 2011, 18:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

gulya писал(а):
Здравствуйте помогите пожалуйста решить данную задачу...я такое задание не решала никогда..а в интернете даже подобных нету..пожалуйста если знаете помогите мне ..
В результате эксперимента получены данные, выписанные в виде таблицы. Методом наименьших квадратов требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х: y=f(x)

x 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
y 0,5 5,5 6,5 8,5 9,5 9

Аппроксимация точек параболой (параболический тренд)Сначала строите точечный график, откуда замечаете, что корреляция между точками
параболическая [math]y=a+bx+cx^2[/math], параметры которой являются решением системы уравнений:

[math]\textstyle{\left\{\!\begin{gathered}na + b\sum\limits_{i=1}^n x_i+ c\sum\limits_{i = 1}^n x_i^2= \sum\limits_{i=1}^n y_i,\hfill\\ a\sum\limits_{i=1}^n x_i + b\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+ c\sum\limits_{i=1}^n x_i^3= \sum\limits_{i=1}^n x_iy_i, \hfill\\a\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+ b\sum\limits_{i=1}^n x_i^3+ c\sum\limits_{i=1}^n x_i^4= \sum\limits_{i=1}^n x_i^2y_i.\hfill\end{gathered}\right.}[/math]

Составим таблицу вспомогательных расчётов:

[math]{\color{blue}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline {\color{black}i}&{\color{black}x}&{\color{black}y}&{\color{black}x^2}&{\color{black}x^3}&{\color{black}x^4}&{\color{black}xy}&{\color{black}x^2y}\\ \hline {\color{black}1}&{\color{black}0,\!5}&{\color{black}0,\!5}&{\color{black}0,\!25}&{\color{black}0,\!125}&{\color{black}0,\!0625}&{\color{black}0,\!25}&{\color{black}0,\!125}\\ \hline {\color{black}2}&{\color{black}1,\!5}&{\color{black}5,\!5}&{\color{black}2,\!25}&{\color{black}3,\!375}&{\color{black}5,\!0625}&{\color{black}8,\!25}&{\color{black}12,\!375}\\ \hline {\color{black}3}&{\color{black}2,\!5}&{\color{black}6,\!5}&{\color{black}6,\!25}&{\color{black}15,\!625}&{\color{black}39,\!0625}&{\color{black}16,\!25}&{\color{black}40,\!625}\\ \hline {\color{black}4}&{\color{black}3,\!5}&{\color{black}8,\!5}&{\color{black}12,\!25}&{\color{black}42,\!875}&{\color{black}150,\!0625}&{\color{black}29,\!75}&{\color{black}104,\!125}\\ \hline {\color{black}5}&{\color{black}4,\!5}&{\color{black}9,\!5}&{\color{black}20,\!25}&{\color{black}91,\!125}&{\color{black}410,\!0625}&{\color{black}42,\!75}&{\color{black}192,\!375}\\ \hline {\color{black}6}&{\color{black}5,\!5}&{\color{black}9}&{\color{black}30,\!25}&{\color{black}166,\!375}&{\color{black}915,\!0625}&{\color{black}49,\!5}&{\color{black}272,\!25}\\ \hline {\color{black}\Sigma}&{\color{black}18}&{\color{black}39,\!5}&{\color{black}71,\!5}&{\color{black}319,\!5}&{\color{black}1519,\!375}&{\color{black}146,\!75}&{\color{black}621,\!875}\\ \hline\end{array}}[/math]

тогда [math]\begin{cases}6a + 18b + 71.5c = 39.5,\\18a + 71.5b + 319.5c = 146.75,\\71.5a + 319.5b + 1519.375c = 621.875.\end{cases}[/math] Решим систему методом Крамера:

[math]\begin{aligned} \Delta &=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 6&{18}&{71.5} \\ {18}&{71.5}&{319.5} \\ {71.5}&{319.5}&{1519.375}\end{array}\!\vline\,\,= \ldots = 3920;\\[5pt]\Delta a &=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{39.5}&{18}&{71.5} \\ {146.75}&{71.5}&{319.5} \\ {621.875}&{319.5}&{1519.375} \end{array}\!\vline\,\,= \ldots = - 4887.75 ~\Rightarrow ~a = \frac{{\Delta a}}{\Delta } = \frac{{ - 4887.75}}{{3920}} \approx -1.247;\\[5pt] \Delta b &=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 6&{39.5}&{71.5} \\ {18}&{146.75}&{319.5} \\ {71.5}&{621.875}&{1519.375} \end{array}\!\vline\,\,=\ldots = 17878 ~\Rightarrow~ b = \frac{{\Delta b}}{\Delta } = \frac{{17878}}{{3920}} \approx 4.561;\\[5pt] \Delta c&=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{c}}6&{18}&{39.5} \\ {18}&{71.5}&{146.75} \\ {71.5}&{319.5}&{621.875} \end{array}\!\vline\,\,=\ldots= -1925~\Rightarrow ~c = \frac{{\Delta c}}{\Delta}= \frac{-1925}{3920}\approx-0.491;\end{aligned}[/math]

Итак, окончательно имеем [math]y=-1.247+4.561x-0.491x^2[/math].

Автор:  gulya [ 04 ноя 2011, 18:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

ой спасибо вам большое*******огромное человеческое спасибо

Автор:  valentina [ 04 ноя 2011, 20:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метод наименьших квадратов

Alexdemath
на форуме где то есть программа для графиков?

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/