Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 09 июн 2018, 10:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июн 2018, 10:34
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, Друзья!
Я совсем не математик. Посоветуйте, пожалуйста, как решить такую задачу:
Есть набор N(x,y) точек, полученных в результате физического эксперимента через равные интервалы по x. Значения между точками рассчитываются путём стандартной линейной аппроксимации (линия строится между 2-мя точками куда попадает требуемая). Затем, в результате физического эксперимента получаем ещё одну точку уже c произвольным х. Вопрос: как произвести адаптацию всей модели с учётом получения новой точки, не меняя первоначальный набор известных точек. (то есть как рассчитать новые значения у известных точек в первоначальной модели, оставляя значения х неизменными)
Сорри за корявость изложения )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 09 июн 2018, 14:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можете привести набор таких точек? Возможно, их проще аппроксимировать нелинейной функцией.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 09 июн 2018, 16:39 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
11 фев 2018, 14:41
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
32 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да уж, точно не математик. :wink:
Давайте разбираться, что вы написали, и что вам действительно надо.
Итак.
Есть две разные задачи: аппроксимация и построение регрессии. И там и там на входе n точек вида (x[math]_{i}[/math],y[math]_{i}[/math]). Но, при аппроксимации стоит задача построить некую функцию, которая обязательно должна пройти через все заданные точки, при построении регрессии - построить функцию, которая может не пройти ни через одну из заданных точек, но сумма ошибок (на самом деле - средняя сумма квадратов ошибок) по всем точкам будет минимальная их всех возможных.
По факту это означает, что если у вас есть n точек, то при аппроксимации вы строите функцию n-1 порядка. Ну например, у вас есть 10 точек, в результате получите полином 9 степени. Скажите, много-ли явлений в реальном мире описывается функцией 9-ого порядка? Я не знаю ни одного. При этом, кстати, никакой гарантии, какая будет ошибка для некоторой точки, не вошедшей в эти 10. Весело? А вот если точек в выборке вдруг прибавиться (ну, т.е. вы сделали очередной, одиннадцатый опыт), то придется строить новую функцию еще более высокого (десятого) порядка. А если точек сто или тысяча? Поэтому использования такого подхода в реальной жизни - сомнительно.
Другое дело - регрессия. Вы говорите;"я подозреваю, что мои данные описываются функцией первого, второго, редко - третьего порядка". Или экспоненциальные. Или еще некоторые хорошо понятные и интерпретируемые функции. . Регрессионные алгоритмы строят функцию заданного класса (более того, есть методы даже выбора лучшего в определенном смысле класса). Затем используете методы (естественно - вероятностные) предсказания ошибок - т.е. вы можете сказать что если придет новая точка с некоторым значением независимой переменной, то используя вашу модель вы можете предсказать диапазон возможных значений ее зависимой переменной с заданным уровнем достоверности. При этом, при проведении эксперимента и желания включить его результат в обучающую выборку, изменение вашей функции будет очень очень незначительно (ожидаемо, правда?). В реальной жизни - это и есть как раз то, что требуется "для счастья" в любом исследовании.
То, что вы предлагаете в своем посте - это самый тривиальный случай так называемой "аппроксимации" с помощью сплайнов. В вашем примере - сплайны линейные, т.е. как бы да, они "предсказывают" значения в промежуточной точке. Но во-первых, никакой информации об ошибке такого предсказания у вас нет и быть не может. Но вы же не верите в чудо, т.е. в то, что новая "промежуточная" точка будет действительно лежать в точности на вашей прямой. За счет ошибок и пр. случайных факторов она будет лежать где-то в сторонке от вашего отрезка. Вот только оценить эту ошибку у вас нет никаких средств. Так какова ценность такого исследования/предсказания. Ну, разве что школьно-учебная.
Во-вторых, у вас и функционального описания вашего процесса нет, а есть только набор кусочно-линейных функций, т.н. отрезков прямых, ограниченных парами (x[math]_{i}[/math],y[math]_{i}[/math]) и (x[math]_{i+1}[/math],y[math]_{i+1}[/math]). Да, в таком случае, если вы пожелаете включить новую точку в обучающую выборку, вы должны просто одну такую прямую удалить и заменить на две { (x[math]_{i}[/math],y[math]_{i}[/math]) (x[math]_{new}[/math],y[math]_{new}[/math])} и { (x[math]_{new}[/math],y[math]_{new}[/math]) (x[math]_{i+1}[/math],y[math]_{i+1}[/math])}. Вот только что потом делать с такой "моделью", как ее реально использовать - большой вопрос. Пока не придумали компьютеры, такое "упрощение" можно было хотя-бы объяснить сложностью вычислений. Но при современной технике - проще, удобнее, понятнее, надежнее, объяснимее работать с регрессионными моделями, чем городить огород со сплайнами. Вон, в любом пакете, включая EXCEL построение регрессионной модели делается в три клика и за 30 секунд. Строить сплайны, потом их разбивать - дольше и муторнее.
Вот как-то так. Будут вопросы - задавайте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 13 июн 2018, 11:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июн 2018, 10:34
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное спасибо за внимание к моей задаче!
Открою карты как есть )
Итак, описанный физический процесс - это дозатор весовой дискретного действия. Задача практическая, не учебная! Уже реально применяется на производстве.
Процесс делится на две стадии, вторая - линейная, когда время дозирования достаточно велико для стабилизации потока материала и возможности измерения этого потока в режиме реального времени. Тут всё понятно уже реализовано и работает.
Первая стадия - нелинейная. Она длится как раз до того момента когда мы можем зафиксировать поток материала. То есть мы должны предсказывать момент закрытия питателя на основе статистики и результатов предыдущих дозирований.
Функция, про которую я говорил есть зависимость результатов дозирования (у) от времени работы питателя (х). Нелинейность в начальной стадии возникает из за того что питатель открывается не мгновенно и поток вначале возрастает постепенно.
Так как время открытия питателя и физические свойства материала вещи переменные - аппроксимирующую кривую требуется постоянно адаптировать.
Мы приняли решение аппроксимировать нелинейный участок с помощью (как Вы верно подметили) сплайнов. А именно - разделили этот участок на 10 равных интервалов, на которых построили прямые. Проверка показала, что данный подход работает хорошо. Результаты реальных дозирований укладываются в требуемую точность с хорошим запасом.
Собственно встал вопрос как адаптировать эту модель? Т.е. непонятен алгоритм как пересчитать точки всех интервалов при получении результата, находящегося внутри одного из них?
Критерий доверия к вновь полученной точке - тоже хороший вопрос, но это другая тема, допустим что мы доверяем на 100% всем вновь полученным точкам.
Вы спросите - почему не применить полином? Ответ - можно, но скажем так, есть негативный опыт адаптации полинома. при определённых обстоятельствах он не отвечает требуемой точности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 13 июн 2018, 12:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понимаете, в чем дело. Процесс, который Вы описали, он не видится случайным.
Есть какой-то вид устоявшейся кривой. Допустим, экспоненциальной. Или значительно
более сложной. Логично было бы на примерах выявить тип кривой, и тогда в дальнейшем
нужно будет только по ходу корректировать параметры (как это делают при управлении
космических станций). Поправьте меня, если все не так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 13 июн 2018, 15:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июн 2018, 10:34
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот одна реальная таблица значений:
Х,мс У, г.
100 0
200 0
300 8
400 31
500 59
600 96
700 129
800 160
900 188
1000 220
1100 248
1200 281
1300 317
1400 341
1500 371
1600 403
1700 433
1800 460
1900 482
2000 516
Столбец Х - время в мс, У - результат в граммах
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 13 июн 2018, 16:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
passant писал(а):
Есть две разные задачи: аппроксимация и построение регрессии.
Неверно, приближение, аппроксимация и регрессия это одно и тоже.
passant писал(а):
Но, при аппроксимации стоит задача построить некую функцию, которая обязательно должна пройти через все заданные точки
Неверно, это интерполяция.
passant писал(а):
при построении регрессии - построить функцию, которая может не пройти ни через одну из заданных точек
Тоже самое при аппроксимации или приближении.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 13 июн 2018, 19:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В принципе кривая несложная. Полином немного в начальном отрезке не соответствует.
Нужно поиграть произведением линейной зависимости на некую функцию.
Попробую в ближайшие часы этим заняться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 14 июн 2018, 00:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mustang писал(а):
Вот одна реальная таблица значений:

По этим данным момент открытия у меня получился [math]x=194[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Адаптация кусочно-линейной аппроксимации
СообщениеДобавлено: 14 июн 2018, 10:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мой анализ свелся к следующему: в принципе кривая с переходом на почти линейную зависимость возможна с хорошим приближением при наличии пяти независимых параметров. Например, аппроксимация полином пятой степени достаточно четко проходит по точкам, если начинать с последней точки, у которой Y=0. Но рекордной по точности оказалась формула, что на рисунке:

Изображение

Тут пять параметров, которые достаточно для каждого эксперимента оптимизировать.

PS. Все числа уменьшил: Х в 1000 раз, а Y - в 100 раз. Так проще для восприятия.

Такую аппроксимацию полиномом 5-ой степени дал Excel:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Аналитическая формула кусочно-линейной функции

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Akchi

1

160

09 дек 2022, 13:21

Доеазательство линейной зависимости(теория аппроксимации)

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Sansii

1

188

26 окт 2021, 10:18

Кусочно-линейная аппроксимация

в форуме Численные методы

menzoda

0

421

10 мар 2015, 23:04

Кусочно-непрерывно-дифференцируемая функция

в форуме Дифференциальное исчисление

famesyasd

5

1891

10 сен 2016, 07:18

Обработка кусочно-заданной функции

в форуме Maple

Roras

1

355

26 фев 2020, 07:06

Определение кусочно-непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kirill1986

11

1888

22 авг 2017, 15:51

Разложить кусочно-линейную функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

brom

1

528

11 июн 2017, 23:26

Исследование кусочно-заданной функции на непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

myxaypechi

1

670

17 ноя 2017, 15:24

Интеграл с переменным верхним пределом, кусочно-непрерывная

в форуме Интегральное исчисление

AGN

4

898

09 апр 2021, 10:24

Вопросы аппроксимации

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Talanov

45

1840

11 апр 2015, 15:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved