Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
kps |
|
|
Задача на нахождение максимизирующего функционала, с какого бока подступиться, так и не понял, возможно кто-то поможет понять как ее решить: Найти функцию p(x), максимизирующую функционал [math]I\left( p \right) = \int\limits_{0}^{ \infty } e^{\frac{ (x-4)^{2} - (x+4)^2}{ 4 }}\ln{p(x)} dx[/math] при ограничениях [math]p(x) > 0[/math], [math]\int\limits_{0}^{\infty} p(x) dx = 1[/math] Вычислить достигнутое значение функционала. Тема: Метод максимального правдоподобия |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
kps писал(а): с какого бока подступиться, так и не понял, kps писал(а): Тема: Метод максимального правдоподобия А вы попробуйте считать, что тема тут - вариационное исчисление. |
||
Вернуться к началу | ||
kps |
|
|
Я посмотрел тему вариационных исчислений, а точнее уравнение Эйлера Логранжа.
Насколько я понимаю, если у нас есть интегральный функционал, например (для простоты) [math]I(p) = \int\limits_{a}^{b} L(x, p,p')dx[/math]; Нам необходимо найти вариационную производную в точке ноль [math]J(t) = I(p+ \delta t)=\int\limits_{a}^{b} L(x,p+\delta t, p'+\delta' t)dx[/math]; [math]J'(t) = \frac{d}{d t} I(p+ \delta t)\left.{ }\right|_{ t=0 } =\int\limits_{a}^{b}( \frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'} ) )\delta dx=0[/math]; [math]\delta (a) = \delta (b) = 0[/math]; поскольку [math]\delta[/math] не равно нулю, получаем наше уравнение Эйлера Логранжа: [math]\frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'}) = 0[/math] _______________________________________________________________ Итак, теперь к нашей задаче, упростим функционал и получим: [math]I(p)=\int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}\ln{p(x)} dx[/math]; значит [math]L = e^{-4x}\ln{p(x)}[/math] воспользуемся уравнением Эйлера Логранжа [math]\frac{d L}{d p} = e^{-4x}\frac{ 1 }{ p(x) }p'(x)=0[/math]; так как по условию [math]p(x)>0; \Rightarrow e^{-4x}p'(x)=0[/math] поскольку [math]e^{-4x}>0 \Rightarrow p'(x)=0 \Rightarrow p(x)=const[/math] отсюда [math]\int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}C dx = -\frac{ C }{ 4 } e^{-4x}\left.{ }\right|_{ 0 }^{ \infty } = \frac{ C }{ 4 }[/math] _______________________________________________________________ Где же ошибка в рассуждениях? И зачем по условию дан [math]\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
kps |
|
|
Посмотрел тему Вариационные задачи на условный экстремум и вот что получилось:
Полезные ссылки: * http://nikolay-d-kopachevsky.com/IGSE.pdf * http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONV ... /01-13.htm * http://alnam.ru/book_ads.php?id=16 _________________________________________________________________ Немного теории (на память): Пусть дан функционал [math]I(p)=\int\limits_{a}^{b} F(x,p,p')dx[/math] И дано дополнительное условие, которое ограничивает наш функционал [math]K(p)=\int\limits_{a}^{b} G(x,p,p')dx=l[/math] Тогда, запишем [math]\widetilde{I}(p)=I(p)+ \lambda K(p)=\int\limits_{a}^{b} H(x,p,p')dx[/math] [math]H(x,p,p')= F(x,p,p')+ \lambda G(x,p,p')[/math] Запишем уравнение Эйлера [math]\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}-\frac{d}{d x}H'_{p'}=0[/math] _________________________________________________________________ Теперь к нашей задаче [math]I(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx[/math] [math]K(p)=\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1[/math] Запишем функционал в виде: [math]\widetilde{I}(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx+ \lambda \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx+1[/math] Следовательно: [math]F(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}[/math] [math]G(x,p)=p(x)[/math] [math]H(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}+ \lambda p(x)[/math] Запишем уравнение Эйлера [math]\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}=\frac{ e^{-4x} }{ p } + \lambda =0[/math] [math]\Rightarrow p=-\frac{ e^{-4x} }{ \lambda }[/math] Найдем [math]\lambda[/math] из дополнительного условия [math]\int\limits_{0}^{\infty} -\frac{ 1 }{ \lambda }e^{-4x}dx=1; \Rightarrow \lambda =-\frac{ 1 }{ 4 }[/math] Отсюда [math]p(x)=4e^{-4x}[/math] Значение функционала равно [math]I(p)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-4x}\ln{4e^{-4x}} dx=\frac{ 1 }{ 4 } (\ln{4}-1 )[/math] Для проверки, что мы нашли максимум, найдем 2ю производную [math]H''_{p}=-\frac{ e^{-4x} }{ p^{2} } =-\frac{ e^{4x} }{ 16 }[/math] [math]\Rightarrow[/math] 2я производная меньше нуля на всем промежутке, значит мы нашли максимум Как-то так получилось. Возможно у кого-то будут замечания |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |