Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Максимизирующий функционал p(x)
СообщениеДобавлено: 14 авг 2017, 21:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 авг 2017, 21:12
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем привет!

Задача на нахождение максимизирующего функционала, с какого бока подступиться, так и не понял, возможно кто-то поможет понять как ее решить:

Найти функцию p(x), максимизирующую функционал

[math]I\left( p \right) = \int\limits_{0}^{ \infty } e^{\frac{ (x-4)^{2} - (x+4)^2}{ 4 }}\ln{p(x)} dx[/math]

при ограничениях [math]p(x) > 0[/math], [math]\int\limits_{0}^{\infty} p(x) dx = 1[/math]

Вычислить достигнутое значение функционала.

Тема: Метод максимального правдоподобия

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимизирующий функционал p(x)
СообщениеДобавлено: 14 авг 2017, 23:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2195
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kps писал(а):
с какого бока подступиться, так и не понял,

kps писал(а):
Тема: Метод максимального правдоподобия

А вы попробуйте считать, что тема тут - вариационное исчисление.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимизирующий функционал p(x)
СообщениеДобавлено: 16 авг 2017, 00:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 авг 2017, 21:12
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я посмотрел тему вариационных исчислений, а точнее уравнение Эйлера Логранжа.
Насколько я понимаю, если у нас есть интегральный функционал, например (для простоты)
[math]I(p) = \int\limits_{a}^{b} L(x, p,p')dx[/math];
Нам необходимо найти вариационную производную в точке ноль
[math]J(t) = I(p+ \delta t)=\int\limits_{a}^{b} L(x,p+\delta t, p'+\delta' t)dx[/math];
[math]J'(t) = \frac{d}{d t} I(p+ \delta t)\left.{ }\right|_{ t=0 } =\int\limits_{a}^{b}( \frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'} ) )\delta dx=0[/math];
[math]\delta (a) = \delta (b) = 0[/math];
поскольку [math]\delta[/math] не равно нулю, получаем наше уравнение Эйлера Логранжа:
[math]\frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'}) = 0[/math]
_______________________________________________________________
Итак, теперь к нашей задаче, упростим функционал и получим:
[math]I(p)=\int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}\ln{p(x)} dx[/math];
значит [math]L = e^{-4x}\ln{p(x)}[/math]
воспользуемся уравнением Эйлера Логранжа
[math]\frac{d L}{d p} = e^{-4x}\frac{ 1 }{ p(x) }p'(x)=0[/math];
так как по условию [math]p(x)>0; \Rightarrow e^{-4x}p'(x)=0[/math]
поскольку [math]e^{-4x}>0 \Rightarrow p'(x)=0 \Rightarrow p(x)=const[/math]
отсюда [math]\int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}C dx = -\frac{ C }{ 4 } e^{-4x}\left.{ }\right|_{ 0 }^{ \infty } = \frac{ C }{ 4 }[/math]
_______________________________________________________________
Где же ошибка в рассуждениях?
И зачем по условию дан [math]\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимизирующий функционал p(x)
СообщениеДобавлено: 16 авг 2017, 19:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 авг 2017, 21:12
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрел тему Вариационные задачи на условный экстремум и вот что получилось:
Полезные ссылки:
* http://nikolay-d-kopachevsky.com/IGSE.pdf
* http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONV ... /01-13.htm
* http://alnam.ru/book_ads.php?id=16
_________________________________________________________________
Немного теории (на память):
Пусть дан функционал
[math]I(p)=\int\limits_{a}^{b} F(x,p,p')dx[/math]

И дано дополнительное условие, которое ограничивает наш функционал
[math]K(p)=\int\limits_{a}^{b} G(x,p,p')dx=l[/math]

Тогда, запишем
[math]\widetilde{I}(p)=I(p)+ \lambda K(p)=\int\limits_{a}^{b} H(x,p,p')dx[/math]
[math]H(x,p,p')= F(x,p,p')+ \lambda G(x,p,p')[/math]

Запишем уравнение Эйлера
[math]\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}-\frac{d}{d x}H'_{p'}=0[/math]
_________________________________________________________________
Теперь к нашей задаче
[math]I(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx[/math]
[math]K(p)=\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1[/math]

Запишем функционал в виде:
[math]\widetilde{I}(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx+ \lambda \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx+1[/math]

Следовательно:
[math]F(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}[/math]
[math]G(x,p)=p(x)[/math]
[math]H(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}+ \lambda p(x)[/math]

Запишем уравнение Эйлера
[math]\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}=\frac{ e^{-4x} }{ p } + \lambda =0[/math] [math]\Rightarrow p=-\frac{ e^{-4x} }{ \lambda }[/math]

Найдем [math]\lambda[/math] из дополнительного условия
[math]\int\limits_{0}^{\infty} -\frac{ 1 }{ \lambda }e^{-4x}dx=1; \Rightarrow \lambda =-\frac{ 1 }{ 4 }[/math]

Отсюда [math]p(x)=4e^{-4x}[/math]

Значение функционала равно
[math]I(p)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-4x}\ln{4e^{-4x}} dx=\frac{ 1 }{ 4 } (\ln{4}-1 )[/math]

Для проверки, что мы нашли максимум, найдем 2ю производную
[math]H''_{p}=-\frac{ e^{-4x} }{ p^{2} } =-\frac{ e^{4x} }{ 16 }[/math] [math]\Rightarrow[/math] 2я производная меньше нуля на всем промежутке, значит мы нашли максимум

Как-то так получилось.
Возможно у кого-то будут замечания

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти объем продукции максимизирующий прибыль

в форуме Экономика и Финансы

gail-ul

1

64

09 дек 2016, 18:52

Составить план производства изделий А и В, максимизирующий

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

heroii2009

8

461

13 фев 2014, 20:25

Функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ZLeysanochka

2

172

02 апр 2016, 21:38

Конечный функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Merhaba

22

928

28 апр 2013, 12:19

Исследовать на сходимость функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

danilaman

0

145

21 июн 2015, 23:17

Доказать, что функционал F линейный и непрерывный

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

POPPIE

4

487

11 июн 2014, 20:58

Re: Доказать функционал F что он линейгый и непрерывестыйю

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dallman123

1

162

15 апр 2014, 18:55

Показать что функционал корректно определен

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Komilfo

26

861

26 дек 2013, 18:52

Линейный функционал. Найти значение в точке

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

baller8

2

449

31 мар 2013, 13:05

Линейный функционал в линейном нормированном пространстве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

winmord

2

226

26 янв 2016, 18:28


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved