Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 19:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 фев 2021, 19:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые эксперты!
Возникла проблема с элементарной (какой она, по всей видимости, представляется) задачей по теории вероятностей.
В корзине есть 8 шариков. 4 - белых, 4 - чёрных.
Наугад достаём 3 шарика. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из них будут чёрными.

По моим расчётам ответ 24/56. В чём же тогда проблема? А в том, что по реальному ручному пересчёту ответ 28/56 (или 1/2).
Тут имеет смысл кратко изложить эпопею, в ходе которой я пришёл к подобным результатам (сдался).

Я пытался найти решение по аналогичной задаче (или точнее создал свою аналогичную задачу с шариками, чтобы понять эту задачу):
Изображение

По аналогии с задачей в примере, я сначала считаю пространство всех возможных сочетний.
C38=8!/3!(8-3)!=56 - всего возможных комбинацией из 3 шариков.
C24=4!/2!(4-2)!=6 - всего возможных способов вытянуть 2 чёрных шарика из общего числа чёрных шариков.
C14=4 - всего возможных комбинацией вытянуть ещё 1 шарик из 4 оставшихся.
Далее по формуле: P=6*4/56=24/56.

Чтобы понять, правильный ли ответ (хотя я был уверен, что правильный), решил перенести все возможные комбинации в эксель таблицу и посчитать в ручную (файл по ссылке: https://drive.google.com/file/d/1aZEgYn ... sp=sharing) Так вот, если пересчитать общую сумму возможных комбинаций, в которых хотя бы 2 шарика чёрные - то получится 28 (можете сами пересчитать, но я сто раз это сделал).

Вопрос. Почему я дурак и в каком именно месте я опростофилился?
Помогите, пожалуйста, очень прошу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 20:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5886
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
2153 раз в 1994 сообщениях
Очков репутации: 308

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если хотя бы два шара из трёх - чёрные, то надо учитывать ещё и случай когда все три шара - чёрные!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 20:34 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21745
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1964
Спасибо получено:
4823 раз в 4512 сообщениях
Очков репутации: 829

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
danil_vm писал(а):
В корзине есть 8 шариков. 4 - белых, 4 - чёрных.
Наугад достаём 3 шарика. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из них будут чёрными.

Вероятность того, что хотя бы два шарика будут чёрными -- это вероятность того, что или два, или три шарика будут чёрными.

Вероятность того. что два шарика из трёх будут черными, составляет
[math]P(2)=\frac{C_4^2 \cdot C_4^1}{C_8^3}=\frac{\frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot \frac{4!}{1! \cdot 3!}}{\frac{8!}{3! \cdot 5!}}=\frac{6 \cdot 4}{56}-\frac{24}{56}=\frac{3}{8}.[/math]

К этому нужно прибавить вероятность того, что три шарика из трёх будут чёрными...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 20:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 фев 2021, 19:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К сожалению, мой аккаунт на форуме не позволяет крепить такой объём файлов. Поэтому дал ссылку на эту таблицу в гугл диск. Там подходящих вариантов 28, а не 24.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 20:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 фев 2021, 19:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
danil_vm писал(а):
В корзине есть 8 шариков. 4 - белых, 4 - чёрных.
Наугад достаём 3 шарика. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из них будут чёрными.

Вероятность того, что хотя бы два шарика будут чёрными -- это вероятность того, что или два, или три шарика будут чёрными.

Вероятность того. что два шарика из трёх будут черными, составляет
[math]P(2)=\frac{C_4^2 \cdot C_4^1}{C_8^3}=\frac{\frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot \frac{4!}{1! \cdot 3!}}{\frac{8!}{3! \cdot 5!}}=\frac{6 \cdot 4}{56}-\frac{24}{56}=\frac{3}{8}.[/math]

К этому нужно прибавить вероятность того, что три шарика из трёх будут чёрными...


К сожалению, мой аккаунт на форуме не позволяет крепить такой объём файлов. Поэтому дал ссылку на эту таблицу в гугл диск. Там подходящих вариантов 28, а не 24.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 20:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5886
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
2153 раз в 1994 сообщениях
Очков репутации: 308

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
danil_vm писал(а):
Там подходящих вариантов 28, а не 24.

Вы не поняли, где взять недостающие четыре случая? Эти четыре случая возникают, когда все три шара - чёрные!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 20:49 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21745
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1964
Спасибо получено:
4823 раз в 4512 сообщениях
Очков репутации: 829

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
danil_vm
28 вариантов чего? Вариантов с ровно двумя чёрными шариками должно быть 24. А вариантов с тремя чёрными шариками -- [math]C_4^3=4.[/math] При этом [math]24+4=28.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 21:30 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 634
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
207 раз в 204 сообщениях
Очков репутации: 88

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
danil_vm писал(а):
Наугад достаём 3 шарика. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из них будут чёрными.

По моим расчётам ответ 24/56. В чём же тогда проблема?

По моему проблема нет, если рассуждаем так :
Из "хотя бы 2 из них будут чёрными", следует что:
- или 2 чёрные и один белый -
- или все 3 чёрные -
Как уже Вам писали из 8, 3 можно брать всего [math]C_{8}^{3} = 56[/math] - способом;
Если сделаем разрез есть такие вариантов :
- все 3 белые - таким можно брать из 4 белых, всего [math]=C_{4}^{3} =4[/math] способом;
- все 3 чёрные - таким можно брать из 4 чёрных, всего [math]=C_{4}^{3} =4[/math] способом;
- два белые и один чёрный - таким можно брать из 4 белых и 4 чёрных,всего [math]= C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1} =6 \cdot 4=24[/math] способом;

- два чёрных и один белый - таким можно брать из 4 чёрных и 4 белых,всего [math]= C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1} =6 \cdot 4=24[/math] способом;

Тогда вероятность, что из три выбранных шариков ХОТЯ бы 2 будут чёрные , [math]p= \frac{ C_{4}^{2}+C_{4}^{3} }{ C_{8}^{3} } = \frac{ 24+4 }{ 56 } =\frac{ 1 }{ 2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
danil_vm
 Заголовок сообщения: Re: 8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 21:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 фев 2021, 19:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pirinchily писал(а):
danil_vm писал(а):
Наугад достаём 3 шарика. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из них будут чёрными.

По моим расчётам ответ 24/56. В чём же тогда проблема?

По моему проблема нет, если рассуждаем так :
Из "хотя бы 2 из них будут чёрными", следует что:
- или 2 чёрные и один белый -
- или все 3 чёрные -
Как уже Вам писали из 8, 3 можно брать всего [math]C_{8}^{3} = 56[/math] - способом;
Если сделаем разрез есть такие вариантов :
- все 3 белые - таким можно брать из 4 белых, всего [math]=C_{4}^{3} =4[/math] способом;
- все 3 чёрные - таким можно брать из 4 чёрных, всего [math]=C_{4}^{3} =4[/math] способом;
- два белые и один чёрный - таким можно брать из 4 белых и 4 чёрных,всего [math]= C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1} =6 \cdot 4=24[/math] способом;

- два чёрных и один белый - таким можно брать из 4 чёрных и 4 белых,всего [math]= C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1} =6 \cdot 4=24[/math] способом;

Тогда вероятность, что из три выбранных шариков ХОТЯ бы 2 будут чёрные , [math]p= \frac{ C_{4}^{2}+C_{4}^{3} }{ C_{8}^{3} } = \frac{ 24+4 }{ 56 } =\frac{ 1 }{ 2 }[/math]


Спасибо! Загвоздка действительно была в "хотя бы")

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
В первой урне 7 белых и 5 чёрных шаров, во второй 3 белых..

в форуме Теория вероятностей

scoper

0

801

29 май 2011, 22:41

Есть 3 ящика с номерами 1, 2, 3 и 7 шариков, 3 черных и 4 бе

в форуме Теория вероятностей

maxgeo

1

41

27 дек 2020, 15:43

В первой урне 2 белых, 3 черных, во второй урне 3 белых и 5

в форуме Теория вероятностей

dimon17115

0

237

14 окт 2017, 01:50

В урне 3 белых и 2 черных шара

в форуме Теория вероятностей

klijmsr

2

189

30 ноя 2018, 02:39

В урне 3 белых и 2 черных шара

в форуме Теория вероятностей

klijmsr

0

173

04 дек 2018, 10:28

В урне лежит 3 белых и 2 черных шара

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Katerina11111111

15

2700

24 дек 2013, 18:00

Расставить в круг или в ряд 12 чёрных и 12 белых шашек

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Carasa

1

478

17 янв 2012, 15:47

В урне содержится 6 черных и белых шаров

в форуме Теория вероятностей

NadezhdaNNN

2

452

05 дек 2016, 16:26

В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров

в форуме Теория вероятностей

lena777192

1

3337

23 ноя 2011, 20:55

В первой урне 11 белых, 7 черных и 6 красных - Задачи

в форуме Теория вероятностей

Solife

0

793

06 дек 2011, 20:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Luke1000 и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved