8 шариков, 4 белых, 4 чёрных. Задача на сочетания (по идее)

Здравствуйте, уважаемые эксперты!
Возникла проблема с элементарной (какой она, по всей видимости, представляется) задачей по теории вероятностей.
В корзине есть 8 шариков. 4 - белых, 4 - чёрных.
Наугад достаём 3 шарика. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из них будут чёрными.

По моим расчётам ответ 24/56. В чём же тогда проблема? А в том, что по реальному ручному пересчёту ответ 28/56 (или 1/2).
Тут имеет смысл кратко изложить эпопею, в ходе которой я пришёл к подобным результатам (сдался).

Я пытался найти решение по аналогичной задаче (или точнее создал свою аналогичную задачу с шариками, чтобы понять эту задачу):


По аналогии с задачей в примере, я сначала считаю пространство всех возможных сочетний.
C38=8!/3!(8-3)!=56 - всего возможных комбинацией из 3 шариков.
C24=4!/2!(4-2)!=6 - всего возможных способов вытянуть 2 чёрных шарика из общего числа чёрных шариков.
C14=4 - всего возможных комбинацией вытянуть ещё 1 шарик из 4 оставшихся.
Далее по формуле: P=6*4/56=24/56.

Чтобы понять, правильный ли ответ (хотя я был уверен, что правильный), решил перенести все возможные комбинации в эксель таблицу и посчитать в ручную (файл по ссылке: https://drive.google.com/file/d/1aZEgYn ... sp=sharing) Так вот, если пересчитать общую сумму возможных комбинаций, в которых хотя бы 2 шарика чёрные - то получится 28 (можете сами пересчитать, но я сто раз это сделал).

Вопрос. Почему я дурак и в каком именно месте я опростофилился?
Помогите, пожалуйста, очень прошу.

Если хотя бы два шара из трёх - чёрные, то надо учитывать ещё и случай когда все три шара - чёрные!

Вероятность того, что хотя бы два шарика будут чёрными -- это вероятность того, что или два, или три шарика будут чёрными.

Вероятность того. что два шарика из трёх будут черными, составляет

К этому нужно прибавить вероятность того, что три шарика из трёх будут чёрными...

К сожалению, мой аккаунт на форуме не позволяет крепить такой объём файлов. Поэтому дал ссылку на эту таблицу в гугл диск. Там подходящих вариантов 28, а не 24.

К сожалению, мой аккаунт на форуме не позволяет крепить такой объём файлов. Поэтому дал ссылку на эту таблицу в гугл диск. Там подходящих вариантов 28, а не 24.

Вы не поняли, где взять недостающие четыре случая? Эти четыре случая возникают, когда все три шара - чёрные!

danil_vm
28 вариантов чего? Вариантов с ровно двумя чёрными шариками должно быть 24. А вариантов с тремя чёрными шариками -- [math]C_4^3=4.[/math] При этом [math]24+4=28.[/math]

По моему проблема нет, если рассуждаем так :
Из "хотя бы 2 из них будут чёрными", следует что:
- или 2 чёрные и один белый -
- или все 3 чёрные -
Как уже Вам писали из 8, 3 можно брать всего [math]C_{8}^{3} = 56[/math] - способом;
Если сделаем разрез есть такие вариантов :
- все 3 белые - таким можно брать из 4 белых, всего [math]=C_{4}^{3} =4[/math] способом;
- все 3 чёрные - таким можно брать из 4 чёрных, всего [math]=C_{4}^{3} =4[/math] способом;
- два белые и один чёрный - таким можно брать из 4 белых и 4 чёрных,всего [math]= C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1} =6 \cdot 4=24[/math] способом;

- два чёрных и один белый - таким можно брать из 4 чёрных и 4 белых,всего [math]= C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1} =6 \cdot 4=24[/math] способом;

Тогда вероятность, что из три выбранных шариков ХОТЯ бы 2 будут чёрные , [math]p= \frac{ C_{4}^{2}+C_{4}^{3} }{ C_{8}^{3} } = \frac{ 24+4 }{ 56 } =\frac{ 1 }{ 2 }[/math]

Спасибо! Загвоздка действительно была в "хотя бы")