Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 05 авг 2019, 17:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 14:28
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Помогите, пожалуйста, с задачей.

Задача следующая:
На кафедре математики работают n профессоров, читающих 2n курсов. Каждый семестр каждый профессор читает 2 курса, каждый курс читается только одним профессором и каждый профессор может читать каждый курс. Сколько существует различных возможностей распределить курсы в осеннем семестре? Сколько существует возможностей распределить курсы в весеннем семестре так, что ни один профессор не читает ту же пару курсов, что и в осеннем семестре?

В осеннем семестре вроде бы получается [math](n!)^2[/math]. Рассуждаю так: каждому курсу можно поставить в соответствие одного из n профессоров. Тогда у первого курса n вариантов, у второго тоже n, у третьего уже (n-1), у четвертого тоже (n-1) и т.д. Подскажите правильно ли это, а то в задачнике ответа нет?

А вот как рассуждать по поводу весеннего семестра не могу придумать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 05 авг 2019, 19:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3718
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
1257 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 180

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то я сомневаюсь в ваших рассуждениях. У меня получилось [math]\frac{ {(2n)!} }{ 2^n } =(2n-1)!! \cdot n![/math] для осеннего семестра.
Эта задача похожа на задачу о разбиениях [math]2n[/math] предметов на [math]n[/math] пар, для которой ответом будет: [math](2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)...3 \cdot 1[/math].
Для весеннего варианта получается: [math](2n-3)!! \cdot n![/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Romaru
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 06 авг 2019, 00:07 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 367
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
94 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Для весеннего варианта получается: (2n−3)!!⋅n!.

Такой ответ не получается уже при [math]n=2.[/math] Для осеннего семестра шесть вариантов распределения курсов, а в весеннем - пять (если первый профессор читает другую пару курсов, то второй тоже).


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 06 авг 2019, 11:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3718
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
1257 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 180

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я исходил из того, что каждый профессор уже не читает ни один из двух курсов, которые он прочитал в предыдущем семестре. Для [math]n=2[/math] в этом случае остается только один вариант, но моя формула все равно не работает, так как она дает два варианта. Правильно в этом случае будет так [math]\frac{ (2n-2)! }{2^{n-1} } =(2n-3)!! \cdot (n-1)![/math].
Если допустить Вашу интерпретацию (когда один из двух курсов может быть прочитан повторно весной, что соответствует условию задачи), то там гораздо сложнее получается - возникают выражения с числами беспорядков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 06 авг 2019, 12:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4686
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
michel писал(а):
Для весеннего варианта получается: (2n−3)!!⋅n!.

Такой ответ не получается уже при [math]n=2.[/math] Для осеннего семестра шесть вариантов распределения курсов, а в весеннем - пять (если первый профессор читает другую пару курсов, то второй тоже).


Тоже считаю правильной такую трактовку. В условии речь шла о несовпадении именно пары.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 07 авг 2019, 13:28 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 367
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
94 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Если допустить Вашу интерпретацию (когда один из двух курсов может быть прочитан повторно весной, что соответствует условию задачи), то там гораздо сложнее получается - возникают выражения с числами беспорядков.

Да, решение похоже на решение задачи о числе беспорядков, то есть нужно применить формулу включения и исключения. Тогда получим, что искомое число вариантов распределения дисциплин в весеннем семестре равно

[math]\frac{ (2n)! }{2 ^{n} }-C_{n}^{1} \frac{ (2n-2)! }{2 ^{n-1} }+C_{n}^{2} \frac{ (2n-4)! }{2 ^{n-2} } -...= \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k} \frac{ (2n-2k)! }{2 ^{n-k}} .[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 17:29 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 367
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
94 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Я исходил из того, что каждый профессор уже не читает ни один из двух курсов, которые он прочитал в предыдущем семестре. Для [math]n=2[/math] в этом случае остается только один вариант, но моя формула все равно не работает, так как она дает два варианта. Правильно в этом случае будет так [math]\frac{ (2n-2)! }{2^{n-1} } =(2n-3)!! \cdot (n-1)![/math].

Правильно будет при [math]n=2[/math], а при [math]n=3[/math] по вашей формуле получается шесть вариантов, а на самом деле их десять. При вашей, michel, интерпретации эта комбинаторная задача не является более простой.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
michel, Romaru
 Заголовок сообщения: Re: Комбинаторная задача
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 23:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 14:28
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Вам! Сижу разбираюсь лучше в разбиениях множеств

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Непонятная комбинаторная задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Jazzman

17

953

15 июн 2014, 00:02

Комбинаторная задача про футболистов

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Jazzman

2

766

16 июн 2014, 17:12

Комбинаторная задача на сочетания

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Romaru

1

40

10 авг 2019, 22:27

Комбинаторная задача на перестановки

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Jazzman

5

535

16 июн 2014, 17:25

Простая комбинаторная задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Centrin0

10

825

07 фев 2014, 19:41

Комбинаторная задача с выборкой шаров из урны

в форуме Теория вероятностей

diofant

5

183

28 июн 2019, 17:45

Количество размещений "кактуса" по n (комбинаторная задача)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Mikhaylo

14

604

26 июн 2015, 05:38

Комбинаторная формула

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Claudia

14

386

13 сен 2018, 21:04

Комбинаторная задачка

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Ilia

7

677

02 апр 2013, 13:15

Задача №8

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

209

05 окт 2016, 09:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved