Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 18 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
forsenlol1 |
|
|
Вопрос. Какой человек по счету имеет наибольшую вероятность выиграть приз? Пользовался формулой для расчета вероятности, которую применяют при решении Парадокса Дня Рождения: [math]p(n) = 1 - \frac{ 100! }{ 100^{n} \cdot (100 - n)! }[/math] При n = 13, вероятность больше 50%. А при n = 25, вероятность самая высокая, но не один из этих ответов не правильный, или я что то не понимаю |
||
Вернуться к началу | ||
Gagarin |
|
|
forsenlol1 писал(а): Пользовался формулой для расчета вероятности, которую применяют при решении Парадокса Дня Рождения forsenlol1Нет, парадокс этот здесь совершенно ни при чём. Там рассматриваются сочетания, здесь же важен порядок, в котором участники объявляют выигранные номера. Здесь вероятность того, что [math]n[/math]-й участник получит приз, нужно вычислять по формуле [math]\displaystyle P(n)=\frac{A_{100}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math]. А отсюда уже легко определяется, при каком [math]n[/math] функция [math]P(n)[/math] принимает максимальное значение. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Gagarin писал(а): Здесь вероятность того, что [math]n[/math]-й участник получит приз, нужно вычислять по формуле [math]\displaystyle P(n)=\frac{A_{100}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math]. Gagarin, обоснуйте пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Предлагаю для начала составить рекуррентное соотношение.
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
ivashenko писал(а): Gagarin, обоснуйте пожалуйста. Если эта формула верна, то обосновать можно так. Для начала проверить эту формулу для малых n. Затем применить индукцию. Более интересный вопрос - как прийти к правильному ответу? |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Хотелось бы ознакомиться с логикой составления этой формулы. Если логика не верна, то и формула соответственно тоже.
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
У меня такая же формула. Логика самая примитивная
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Пусть первый участник выбрал какое-то произвольное число с вероятностью 1.
Далее, второй участник может выбрать это же число с вероятностью [math]\frac{1}{100}[/math] или не выбрать его с вероятностью [math]\frac{99}{100}[/math]. Далее, если у них числа различны, то третий участник может выбрать такое же число как у первого с вероятностью [math]\frac{1}{100}[/math], может выбрать такое же число как у второго с вероятностью [math]\frac{1}{100}[/math] или выбрать число, не совпадающее ни с одним из них с вероятностью [math]\frac{98}{100}[/math]. Четвертый участник может выбрать число первого [math]\frac{1}{100}[/math], второго [math]\frac{1}{100}[/math], третьего [math]\frac{1}{100}[/math], выбрать другое число [math]\frac{97}{100}[/math]. n-ный участник может выбрать какое-либо из чисел n-1 предыдущих участников с вероятностью [math]p(n)=\frac{99!}{(99-n+1)!100^{n-1}}\frac{n-1}{100}=\frac{A_{99}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Gagarin |
|
|
ivashenko писал(а): Gagarin, обоснуйте пожалуйста. ivashenkoТак, как Вы решали, у меня даже семиклассники не решают. Это просто какие-то малопонятные попытки подобраться к задаче при почти полном незнании предмета. Да к тому же и с ошибками. Послушайте, ivashenko, занимайтесь тем, что Вам больше удаётся - хвилософией и демагогией, а в математику, пожалуйста, не лезьте. Здесь Вы вовсю разгулялись только потому, что нет модерации. Поэтому Вы будете последним человеком на форуме, которому я буду что-то обосновывать и объяснять. Однако для топикстартера объясняю. Как уже сказал swan, логика здесь примитивная. Подобные задачи рассматривались ещё в "Комбинаторике" Виленкина. Для того, чтобы выиграл [math]n[/math]-й участник, необходимо (а, кстати, и достаточно), чтобы осуществились два события: 1. [math]n-1[/math] участников до него назвали различные числа. Вероятность этого события равна [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{\overline{A}_{100}^{n-1}}[/math] Здесь в знаменателе [math]\overline{A}[/math] - размещение с повторениями. Как известно, [math]\overline{A}_{100}^{n-1}=100^{n-1}[/math]. Стало быть, [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{100^{n-1}}[/math] 2. [math]n[/math]-й участник должен назвать одно из уже ранее названных [math]n-1[/math] чисел. Вероятность этого события равна, очевидно, [math]\displaystyle P_2=\frac{n-1}{100}[/math] Поскольку оба вышеуказанных события независимы, то искомая вероятность равна произведению вероятностей: [math]\displaystyle P(n)=P_1\cdot P_2=\frac{A_{100}^{n-1}}{100^{n-1}}\cdot \frac{n-1}{100}=\frac{A_{100}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math] Получили ту самую формулу, которую я привёл сразу после стартового поста. Только надо было немного подумать. Идём дальше. Для того, чтобы максимизировать искомую вероятность, понятно, что надо решить уравнение [math]n^2-n-100=0[/math] Его решения [math]\displaystyle n_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{401}}{2}[/math]. Отрицательный корень игнорируем, а вот положительный [math]\displaystyle n_2=\frac{1+\sqrt{401}}{2}\approx 10,5[/math] рассмотрим. При [math]n<n_2[/math] функция [math]P(n)[/math] монотонно возрастает, а при [math]n>n_2[/math] монотонно убывает. Поскольку [math]n\in \mathbb{N}[/math], то при [math]n=10[/math] функция возрастает, а при [math]n=11[/math] убывает. Несложной проверкой устанавливаем, что [math]P(11)>P(10)[/math] и [math]P(11)>P(12)[/math]. Значит максимальная вероятность выигрыша у участника под номером [math]11[/math]. Да, и ещё нелишне отметить, что число участников (в условии их [math]25[/math]) не имеет никакого значения. Миллион участников может загадывать числа от [math]1[/math] до [math]100[/math] - результат будет тот же - наивысшие шансы у [math]11[/math]-го участника. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Gagarin писал(а): 1. [math]n-1[/math] участников до него назвали различные числа. Вероятность этого события равна [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{\overline{A}_{100}^{n-1}}[/math] Здесь в знаменателе [math]\overline{A}[/math] - размещение с повторениями. Как известно, [math]\overline{A}_{100}^{n-1}=100^{n-1}[/math]. Стало быть, [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{100^{n-1}}[/math] Извините, но мне кажется, что, поскольку первый участник выберет произвольное число с вероятностью 1 и не может не выбрать его, а также до него никто не может выбрать это же число, то вероятность того, что [math]n-1[/math] участников до участника с номером [math]n[/math] назвали различные числа равна [math]p_1(n)=\frac{A_{99}^{n-1}}{100^{n-1}}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 18 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Выбор победителя с помощью монеты
в форуме Теория вероятностей |
53 |
998 |
10 авг 2017, 03:20 |
|
2 типа выборки победителя из общего пула
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
279 |
21 апр 2023, 02:54 |
|
Определить T0, T1, T2, T3, T4
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
338 |
31 мар 2015, 17:54 |
|
Определить
в форуме Теория вероятностей |
0 |
483 |
10 апр 2014, 22:19 |
|
Определить тип ДУ | 6 |
474 |
03 окт 2015, 12:57 |
|
Определить
в форуме Теория чисел |
2 |
541 |
29 мар 2018, 16:47 |
|
Определить
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
328 |
02 апр 2015, 08:56 |
|
Определить ЭДС
в форуме Электричество и Магнетизм |
1 |
332 |
15 июн 2018, 15:33 |
|
Определить
в форуме Теория вероятностей |
1 |
431 |
10 апр 2014, 22:13 |
|
Определить сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
441 |
11 апр 2016, 20:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |