Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 17 июн 2019, 13:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 май 2019, 20:34
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача. Двадцать пять человек выбирают каждый наугад число от 1, 2, . . . , 100 независимо друг от друга. Далее участники объявляют выбранные номера по очереди (и делают это честно). Первый (если такой человек есть), кто объявляет номер, который уже был объявлен, получает приз.

Вопрос. Какой человек по счету имеет наибольшую вероятность выиграть приз?

Пользовался формулой для расчета вероятности, которую применяют при решении Парадокса Дня Рождения:

[math]p(n) = 1 - \frac{ 100! }{ 100^{n} \cdot (100 - n)! }[/math]

При n = 13, вероятность больше 50%. А при n = 25, вероятность самая высокая, но не один из этих ответов не правильный, или я что то не понимаю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 17 июн 2019, 23:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
forsenlol1 писал(а):
Пользовался формулой для расчета вероятности, которую применяют при решении Парадокса Дня Рождения
forsenlol1
Нет, парадокс этот здесь совершенно ни при чём. Там рассматриваются сочетания, здесь же важен порядок, в котором участники объявляют выигранные номера.

Здесь вероятность того, что [math]n[/math]-й участник получит приз, нужно вычислять по формуле [math]\displaystyle P(n)=\frac{A_{100}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math].

А отсюда уже легко определяется, при каком [math]n[/math] функция [math]P(n)[/math] принимает максимальное значение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 17 июн 2019, 23:58 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):

Здесь вероятность того, что [math]n[/math]-й участник получит приз, нужно вычислять по формуле [math]\displaystyle P(n)=\frac{A_{100}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math].



Gagarin, обоснуйте пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 18 июн 2019, 10:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагаю для начала составить рекуррентное соотношение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 18 июн 2019, 11:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Gagarin, обоснуйте пожалуйста.

Если эта формула верна, то обосновать можно так. Для начала проверить эту формулу для малых n. Затем применить индукцию. Более интересный вопрос - как прийти к правильному ответу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 18 июн 2019, 11:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хотелось бы ознакомиться с логикой составления этой формулы. Если логика не верна, то и формула соответственно тоже.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 18 июн 2019, 14:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня такая же формула. Логика самая примитивная

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 18 июн 2019, 22:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть первый участник выбрал какое-то произвольное число с вероятностью 1.
Далее, второй участник может выбрать это же число с вероятностью [math]\frac{1}{100}[/math] или не выбрать его с вероятностью [math]\frac{99}{100}[/math]. Далее, если у них числа различны, то третий участник может выбрать такое же число как у первого с вероятностью [math]\frac{1}{100}[/math], может выбрать такое же число как у второго с вероятностью [math]\frac{1}{100}[/math] или выбрать число, не совпадающее ни с одним из них с вероятностью [math]\frac{98}{100}[/math]. Четвертый участник может выбрать число первого [math]\frac{1}{100}[/math], второго [math]\frac{1}{100}[/math], третьего [math]\frac{1}{100}[/math], выбрать другое число [math]\frac{97}{100}[/math].

n-ный участник может выбрать какое-либо из чисел n-1 предыдущих участников с вероятностью
[math]p(n)=\frac{99!}{(99-n+1)!100^{n-1}}\frac{n-1}{100}=\frac{A_{99}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 19 июн 2019, 10:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Gagarin, обоснуйте пожалуйста.
ivashenko
Так, как Вы решали, у меня даже семиклассники не решают. Это просто какие-то малопонятные попытки подобраться к задаче при почти полном незнании предмета. Да к тому же и с ошибками.
Послушайте, ivashenko, занимайтесь тем, что Вам больше удаётся - хвилософией и демагогией, а в математику, пожалуйста, не лезьте.
Здесь Вы вовсю разгулялись только потому, что нет модерации. Поэтому Вы будете последним человеком на форуме, которому я буду что-то обосновывать и объяснять.
Однако для топикстартера объясняю.
Как уже сказал swan, логика здесь примитивная. Подобные задачи рассматривались ещё в "Комбинаторике" Виленкина.
Для того, чтобы выиграл [math]n[/math]-й участник, необходимо (а, кстати, и достаточно), чтобы осуществились два события:

1. [math]n-1[/math] участников до него назвали различные числа. Вероятность этого события равна [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{\overline{A}_{100}^{n-1}}[/math]

Здесь в знаменателе [math]\overline{A}[/math] - размещение с повторениями. Как известно, [math]\overline{A}_{100}^{n-1}=100^{n-1}[/math]. Стало быть, [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{100^{n-1}}[/math]

2. [math]n[/math]-й участник должен назвать одно из уже ранее названных [math]n-1[/math] чисел. Вероятность этого события равна, очевидно, [math]\displaystyle P_2=\frac{n-1}{100}[/math]

Поскольку оба вышеуказанных события независимы, то искомая вероятность равна произведению вероятностей: [math]\displaystyle P(n)=P_1\cdot P_2=\frac{A_{100}^{n-1}}{100^{n-1}}\cdot \frac{n-1}{100}=\frac{A_{100}^{n-1}(n-1)}{100^n}[/math]
Получили ту самую формулу, которую я привёл сразу после стартового поста. Только надо было немного подумать.
Идём дальше. Для того, чтобы максимизировать искомую вероятность, понятно, что надо решить уравнение [math]n^2-n-100=0[/math]

Его решения [math]\displaystyle n_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{401}}{2}[/math]. Отрицательный корень игнорируем, а вот положительный [math]\displaystyle n_2=\frac{1+\sqrt{401}}{2}\approx 10,5[/math] рассмотрим.

При [math]n<n_2[/math] функция [math]P(n)[/math] монотонно возрастает, а при [math]n>n_2[/math] монотонно убывает. Поскольку [math]n\in \mathbb{N}[/math], то при [math]n=10[/math] функция возрастает, а при [math]n=11[/math] убывает.

Несложной проверкой устанавливаем, что [math]P(11)>P(10)[/math] и [math]P(11)>P(12)[/math].

Значит максимальная вероятность выигрыша у участника под номером [math]11[/math].
Да, и ещё нелишне отметить, что число участников (в условии их [math]25[/math]) не имеет никакого значения. Миллион участников может загадывать числа от [math]1[/math] до [math]100[/math] - результат будет тот же - наивысшие шансы у [math]11[/math]-го участника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить победителя
СообщениеДобавлено: 19 июн 2019, 12:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):

1. [math]n-1[/math] участников до него назвали различные числа. Вероятность этого события равна [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{\overline{A}_{100}^{n-1}}[/math]

Здесь в знаменателе [math]\overline{A}[/math] - размещение с повторениями. Как известно, [math]\overline{A}_{100}^{n-1}=100^{n-1}[/math]. Стало быть, [math]\displaystyle P_1=\frac{A_{100}^{n-1}}{100^{n-1}}[/math]


Извините, но мне кажется, что, поскольку первый участник выберет произвольное число с вероятностью 1 и не может не выбрать его, а также до него никто не может выбрать это же число, то вероятность того, что [math]n-1[/math] участников до участника с номером [math]n[/math] назвали различные числа равна [math]p_1(n)=\frac{A_{99}^{n-1}}{100^{n-1}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Выбор победителя с помощью монеты

в форуме Теория вероятностей

dexforint

53

998

10 авг 2017, 03:20

2 типа выборки победителя из общего пула

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Skvozniac

1

279

21 апр 2023, 02:54

Определить T0, T1, T2, T3, T4

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Atlantis

0

338

31 мар 2015, 17:54

Определить

в форуме Теория вероятностей

Itory

0

483

10 апр 2014, 22:19

Определить тип ДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Arno

6

474

03 окт 2015, 12:57

Определить

в форуме Теория чисел

kicultanya

2

541

29 мар 2018, 16:47

Определить

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Atlantis

0

328

02 апр 2015, 08:56

Определить ЭДС

в форуме Электричество и Магнетизм

iliki

1

332

15 июн 2018, 15:33

Определить

в форуме Теория вероятностей

Itory

1

431

10 апр 2014, 22:13

Определить сходимость

в форуме Интегральное исчисление

dmitriy271

4

441

11 апр 2016, 20:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved