Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 17:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 сен 2018, 17:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имеется два трёхразрядных числа. Нужно найти вероятность того, что они состоят из одного набора цифр (Пр.: 112, 211, 121, но не 221(!)). Числа могут начинаться с 0, т.е. варианты 001, 025, 000 допустимы. Посчитал перебором, вышло 0.00514, примерно так же вышло и с моделированием ситуации. Но теоретически решить не могу. Получается:

10 * 9 * 8 * 6 (для трёх разных цифр в первом числе) +
+ 10 * 9 * 2 * 3 (для двух одинаковых и одной отличной от них) +
+ 10 (для трёх одинаковых цифр) =
= 4870

Перебрав варианты, заметил, что для двух одинаковых цифр, если поменять 2 на 3, то выйдет правильный ответ. Но как это аргументировать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 21:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для двух одинаковых цифр в трехзначном числе будет [math]2*3C_{10}^2=270[/math] вариантов. Две цифры из 10-ти для составления такого числа мы можем взять [math]C_{10}^2[/math] Выбрать из этих двух цифр повторяющуюся мы можем 2-мя способами, расставить 3 цифры две из которых повторяются по 3-м местам - 3-мя способами.

Для 3 различных цифр [math]6C_{10}^3=6\frac{10!}{7!3!}=8*9*10=720[/math]

Для 3-х одинаковых цифр - [math]C_{10}^1=10[/math]

720+270+10=1000.

Т.е. будет 720 чисел состоящих из различных цифр, с помощью тройки цифр путем перестановки можно образовать 3!=6 чисел, т.е. будет 720/6=120 групп по 6 чисел, состоящих из одинаковых цифр, для того, чтобы два трехзначных числа состоящие из 3-х разных цифр имели одинаковые цифры, они должны попасть в одну из 120 групп, т.е. должны оказаться 2-мя из 6-ти таких чисел среди 720.

Для 270 трехзначных чисел, состоящих из 2-х цифр существует 90 групп по 3 числа, и два выбранных наугад числа должны попасть в одну из таких групп, т.е. должны оказаться двумя из 3-х таких чисел, среди 270.

Для 10-ти трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр не существует чисел, состоящих из тех же цифр.

Далее необходимо посчитать вероятности.

Непонятно, откуда у Вас в расчетах берутся цифры более 4000 и почему Вы считаете их правильным ответом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
good_mood
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 сен 2018, 17:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я считал количество комбинаций двух чисел, которые подпадают под условие. Всего у нас комбинаций [math]10^{6}[/math].

Если первое число содержит 3 одинаковые цифры, то соответственно и второе число будет содержать три одинаковые цифры, т.е., как Вы и написали, 10 вариантов всего.

При двух одинаковых цифрах первое число можно составить [math]10 \cdot 9 \cdot 2 = 180[/math] способами. Количество вариантов второго числа, подходящих под условие, равно 3. Получается [math]3 \cdot 180 = 540[/math] комбинаций чисел.

При трёх разных числах первое число составляется [math]10 \cdot 9 \cdot 8 = 720[/math]. Количество перестановок цифр для второго числа: 6. Комбинаций получается 4320.

Вот и выходит такое число. Всего комбинаций в данном случае [math]4320 + 540 + 10 = 4870[/math].

Вероятность: [math]\frac{ 4870 }{ 10^{6} } = 0.00487[/math]. Но она не совпадает с моделированием и перебором.
Я не могу понять, где тут ошибка..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
good_mood писал(а):
При двух одинаковых цифрах первое число можно составить 10⋅9⋅2=180
способами. Количество вариантов второго числа, подходящих под условие, равно 3. Получается 3⋅180=540
комбинаций чисел.


Я не понимаю Вашу логику. Цифры первого числа можно выбрать 90 способами и переставить их 3-мя способами, таким образом первое число можно составить 270 способами. Количество вариантов второго числа подходящее под условие с каждым из вариантов первого числа равно 2 оставшимся. Итого получается 270+2*270=810 комбинаций, удовлетворяющих условию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 сен 2018, 17:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
10 цифр для первой позиции, 9 остаётся для второй и на третью позицию - одна из двух выбранных цифр, т.е. два варианта.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
good_mood писал(а):
10 цифр для первой позиции, 9 остаётся для второй и на третью позицию - одна из двух выбранных цифр, т.е. два варианта.


ivashenko писал(а):
Для двух одинаковых цифр в трехзначном числе будет 2∗3C210=270
вариантов. Две цифры из 10-ти для составления такого числа мы можем взять C210
Выбрать из этих двух цифр повторяющуюся мы можем 2-мя способами, расставить 3 цифры две из которых повторяются по 3-м местам - 3-мя способами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
good_mood писал(а):
10 цифр для первой позиции, 9 остаётся для второй и на третью позицию - одна из двух выбранных цифр, т.е. два варианта.

Почему 9 для второй позиции? Разве нельзя 991 или 003?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
good_mood
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:43 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Почему 9 для второй позиции? Разве нельзя 991 или 003?


Потому, что мы рассматриваем случай, когда одинаковы первая и третья или вторая и третья позиция, так вот тогда Ваши (топикстартера), 180 надо поделить на 2, а затем умножить на количество перестановок 3 и получится 270.


Последний раз редактировалось ivashenko 24 сен 2018, 22:45, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 сен 2018, 17:02
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, допёр. Просто рассматривал только тот вариант, что первые две цифры обязательно разные. Протупил знатно, от того и не тот ответ получался. Благодарю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два трёхразрядных числа
СообщениеДобавлено: 24 сен 2018, 22:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы таких засад не получалось, лучше считать через сочетания и перестановки, там всё более прозрачно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разбиение числа на сумму произвольного числа квадратов

в форуме Теория чисел

chimikus

1

567

02 янв 2018, 16:59

Комплексные числа, найти корни к-го числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

bellkross

4

526

04 окт 2016, 16:43

Числа Каталана и числа Фибоначчи

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BrODYGA

1

295

27 ноя 2020, 00:23

Совершенные числа: существуют ли нечетные совершенные числа?

в форуме Палата №6

Renatik

2

186

26 июн 2022, 14:20

Два числа

в форуме Теория вероятностей

Ciber15

8

453

27 сен 2018, 22:01

Два числа

в форуме Алгебра

DeD

4

338

18 фев 2017, 10:58

Комплексные числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

eiska

4

382

10 май 2015, 20:04

Собственные числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Maxmax87

15

701

19 июн 2015, 11:52

Раскрашенные числа

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

girlforever

2

826

03 дек 2015, 10:01

Сравнить два числа

в форуме Алгебра

Gagarin

7

327

24 июн 2015, 09:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved