Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=58452
Страница 1 из 2

Автор:  wetmwl [ 05 мар 2018, 23:46 ]
Заголовок сообщения:  Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

Решаю следующую задачу (из учебника Гмурмана):
Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность, что потребуется четное число бросаний.

Решение не сходится с ответом. В интернете видел, что ее решают через сумму геом. прогрессии и ряды, но мне интересно найти и исправить ошибку именно в моих рассуждениях.
Перед задачей есть следующее утверждение, поэтому отталкиваюсь от него:
Изображение

Итак, мое неверное решение.
Вероятность того, что мы закончим или не закончим опыт на каждом броске, равна 1/2.
Но на первом броске закончить испытание невозможно, и это испытание не имеет вероятности 1/2, поэтому оно не должно учитываться в формуле. Сдвинем нумерацию бросков на один, т.е. начнем ее с двойки. После изменения нумерации четные числа станут нечетными и наоборот.
Составляю систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 1 - 0.5^{2n} =x \\
& 1 - 0.5^{2n-1} = 1 -x
\end{aligned}\right.[/math]


После изменения нумерации x - вероятность для нечетных чисел в изначальной нумерации, 1 - x - для четных чисел в изначальной нумерации.
Получаем x=2/3, т.е. 1/3 для четных чисел, но правильный ответ - 2/3

С математикой не очень дружу, буду благодарен, если кто-то подробно разъяснит.

Автор:  searcher [ 06 мар 2018, 09:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

wetmwl писал(а):
Получаем x=2/3

У вас ошибка в решении системы. Правильный ответ: [math]x=1/3[/math].

Автор:  Gagarin [ 06 мар 2018, 10:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

del

Автор:  wetmwl [ 07 мар 2018, 08:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

Ответ свой проверял на сайтах для решения уравнений. Привожу решение системы
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 1 - 0.5^{2n} = x \\
& 1 - 0.5 ^{2n - 1} = 1-x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& 1 - (1 - x) * 0.5^{-1} = 1-x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& 1 - (1 - x) * 2 = 1-x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& -2 + 2x = -x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& 3x = 2
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& x = 2 \slash 3
\end{aligned}\right.[/math]

Автор:  searcher [ 07 мар 2018, 14:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

Да, я был неправ. Система решена верно. Но только я не понял, откуда она взялась. Если руководствоваться "частным случаем", то в первом уравнении рассматриваются некие 2n событий, а во втором - некие 2n-1 событий. Что это за события? Поподробнее напишите, как вы получили систему.
Традиционное решение. Пусть Ч - вероятность чётного числа бросков, Н - нечётного. Рассмотрим ситуацию после первого броска. Тогда Ч=1/2+Н/2. То есть либо с вероятностью 1/2 сразу получаем чётное число бросков (2), либо с вероятностью 1/2 будем решать задачу о нечётном количестве бросков (где броски нумеруются со второго). Кроме того имеем Ч+Н=1. Решая полученную систему, имеем Ч=2/3, Н=1/3.

Автор:  ivashenko [ 07 мар 2018, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

Как мне кажется в Ваши рассуждения вкралась ошибка на этапе составления системы, на мой взгляд система при Ваших рассуждениях должна быть такой:


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 1 - 0.5^{2n}-0.5^{2n-1}=x_{2k} \\
& 1 - 0.5^{2n}-0.5^{2n+1} = 1 -x_{2k}=y_{2k+1}
\end{aligned}\right.[/math]

Автор:  ivashenko [ 07 мар 2018, 19:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& x = 2 \slash 3
\end{aligned}\right.[/math]


Какое-то странное решение системы получается. n по определению - натуральное, подставляем в систему найденное x и оказывается, что не существует такого натурального n, удовлетворяющего решению системы. Как это понимать?

Автор:  ivashenko [ 07 мар 2018, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

Похоже ни моя, ни Ваша системы не имеют решения. Видимо с ними что-то не так.

Автор:  ivashenko [ 07 мар 2018, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

Я кажется понял!!!!!!!!!!!!!!!! Эврика!!!

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x_{2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n-1}}=0.(6) \\
& x_{2n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}=0.(3)
\end{aligned}\right.[/math]

Автор:  FEBUS [ 07 мар 2018, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях

1 = p + q = p + p/2.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/