Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 00:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2018, 23:56
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решаю следующую задачу (из учебника Гмурмана):
Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность, что потребуется четное число бросаний.

Решение не сходится с ответом. В интернете видел, что ее решают через сумму геом. прогрессии и ряды, но мне интересно найти и исправить ошибку именно в моих рассуждениях.
Перед задачей есть следующее утверждение, поэтому отталкиваюсь от него:
Изображение

Итак, мое неверное решение.
Вероятность того, что мы закончим или не закончим опыт на каждом броске, равна 1/2.
Но на первом броске закончить испытание невозможно, и это испытание не имеет вероятности 1/2, поэтому оно не должно учитываться в формуле. Сдвинем нумерацию бросков на один, т.е. начнем ее с двойки. После изменения нумерации четные числа станут нечетными и наоборот.
Составляю систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 1 - 0.5^{2n} =x \\
& 1 - 0.5^{2n-1} = 1 -x
\end{aligned}\right.[/math]


После изменения нумерации x - вероятность для нечетных чисел в изначальной нумерации, 1 - x - для четных чисел в изначальной нумерации.
Получаем x=2/3, т.е. 1/3 для четных чисел, но правильный ответ - 2/3

С математикой не очень дружу, буду благодарен, если кто-то подробно разъяснит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 10:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3900
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
581 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wetmwl писал(а):
Получаем x=2/3

У вас ошибка в решении системы. Правильный ответ: [math]x=1/3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 11:26 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 980
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
197 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
del

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 09:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2018, 23:56
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ свой проверял на сайтах для решения уравнений. Привожу решение системы
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 1 - 0.5^{2n} = x \\
& 1 - 0.5 ^{2n - 1} = 1-x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& 1 - (1 - x) * 0.5^{-1} = 1-x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& 1 - (1 - x) * 2 = 1-x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& -2 + 2x = -x
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& 3x = 2
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& x = 2 \slash 3
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 15:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3900
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
581 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, я был неправ. Система решена верно. Но только я не понял, откуда она взялась. Если руководствоваться "частным случаем", то в первом уравнении рассматриваются некие 2n событий, а во втором - некие 2n-1 событий. Что это за события? Поподробнее напишите, как вы получили систему.
Традиционное решение. Пусть Ч - вероятность чётного числа бросков, Н - нечётного. Рассмотрим ситуацию после первого броска. Тогда Ч=1/2+Н/2. То есть либо с вероятностью 1/2 сразу получаем чётное число бросков (2), либо с вероятностью 1/2 будем решать задачу о нечётном количестве бросков (где броски нумеруются со второго). Кроме того имеем Ч+Н=1. Решая полученную систему, имеем Ч=2/3, Н=1/3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
wetmwl
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 16:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3875
Cпасибо сказано: 291
Спасибо получено:
257 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как мне кажется в Ваши рассуждения вкралась ошибка на этапе составления системы, на мой взгляд система при Ваших рассуждениях должна быть такой:


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 1 - 0.5^{2n}-0.5^{2n-1}=x_{2k} \\
& 1 - 0.5^{2n}-0.5^{2n+1} = 1 -x_{2k}=y_{2k+1}
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 20:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3875
Cпасибо сказано: 291
Спасибо получено:
257 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0.5^{2n} = 1 - x \\
& x = 2 \slash 3
\end{aligned}\right.[/math]


Какое-то странное решение системы получается. n по определению - натуральное, подставляем в систему найденное x и оказывается, что не существует такого натурального n, удовлетворяющего решению системы. Как это понимать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
wetmwl
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 21:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3875
Cпасибо сказано: 291
Спасибо получено:
257 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Похоже ни моя, ни Ваша системы не имеют решения. Видимо с ними что-то не так.


Последний раз редактировалось ivashenko 07 мар 2018, 21:54, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 21:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3875
Cпасибо сказано: 291
Спасибо получено:
257 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я кажется понял!!!!!!!!!!!!!!!! Эврика!!!

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x_{2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n-1}}=0.(6) \\
& x_{2n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}=0.(3)
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
wetmwl
 Заголовок сообщения: Re: Бросание монеты: ошибка в рассуждениях
СообщениеДобавлено: 07 мар 2018, 22:11 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 03:28
Сообщений: 711
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
155 раз в 123 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1 = p + q = p + p/2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Бросание монеты

в форуме Теория вероятностей

sonorthie

15

352

23 июн 2017, 23:44

Два трёхчлена (где ошибка в рассуждениях?)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

316

23 окт 2012, 16:36

Бросание игральных костей

в форуме Теория вероятностей

SLN

1

413

11 апр 2015, 21:19

Задача про монеты

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Elephant

6

446

12 ноя 2014, 14:54

Подбрасывание монеты

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

vulpes

4

153

26 фев 2018, 01:16

Задача. Монеты

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

FEBUS

8

226

01 мар 2018, 23:07

Монеты и сундуки

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

rafael_

2

234

27 ноя 2016, 02:23

Бросания монеты

в форуме Теория вероятностей

koka0000

6

161

01 мар 2018, 21:00

Задача про монеты

в форуме Теория вероятностей

Andrew_

2

99

09 апр 2017, 15:17

Задача про монеты

в форуме Теория вероятностей

Evrica

4

468

25 апр 2013, 10:30


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved