Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
Хотелось бы понять как они решаются. 90. Предполагается, что вероятность наугад выбранному целому числу оказаться кратным[math]n[/math] равна [math]\frac{1}{n}[/math], найти вероятность того, что оно окажется простым. 91. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что два наугад взятых натуральных числа окажутся взаимнопростыми. (Задача Чебышева) 92. В тех же условиях найти вероятность того, что взятое наугад натуральное число не будет делиться ни на один из квадратов. Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
По поводу задачи Чебышева посмотрите здесь
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Нашел на mathforume такое решение ИСН от 2005 года:
ИСН писал(а): Два числа могут оба делиться на 2, вероятность чего 1/4. Независимо от этого они оба могут делиться на 3, вероятность чего 1/9. Такая же картина для всех остальных простых чисел. Поэтому искомая вероятность есть (1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)... Обратная этому величина 1/(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)... = (1+1/4+1/16+...)(1+1/9+1/81+...)... (я понятно говорю? разворачиваем каждую скобку в ряд как 1/(1-x) ) Теперь если раскрыть все скобки, то получится просто \sum(1/n^2) по всем натуральным числам. А это pi^2/6. Всё. Но к нему предъявляет претензии maxal: maxal писал(а): красиво, но нестрого. Кто сказал, что вероятности делимости на различные простые попарно независимы? А без доказательства независимости произведением вероятностей пользоваться нельзя. Здесь мне непонятны 2 момента: 1. Мне непонятно, что делает автор решения, начиная отсюда: Цитата: Обратная этому величина 1/(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)... = (1+1/4+1/16+...)(1+1/9+1/81+...)... (я понятно говорю? разворачиваем каждую скобку в ряд как 1/(1-x) ) Теперь если раскрыть все скобки, то получится просто \sum(1/n^2) по всем натуральным числам. А это pi^2/6. Всё. 2. Также непонятно, чем не удовлетворен в этом решении maxal и о каких вероятностях и какой независимости он говорит |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
1. [math]\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + ...[/math] просто формула суммы бесконечной геометрической прогрессии, затем перемножает эти ряды.
2. Не строгость самая главная пожалуй в том, что не написано какое вероятностное пространство, обычно подразумевают такое: берем числа из интервала [math]1...n[/math] (равномерно) считаем вероятность которая нас интересует и ищем ее предел при [math]n\to\infty[/math] и ИСН прав, но нужно в идеале даже после этого допояснить почему тот ряд и будет приделом |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Извините, а откуда следует, что произведение бесконечного множества этих бесконечных рядов равно сумме обратных квадратов? В голове не укладывается, как их можно перемножить.
|
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
erjoma писал(а): Тождество Эйлера Да, спасибо, тогда непонятно, зачем переходили к сумме бесконечной геометрической прогрессии, если можно было сразу воспользоваться тождеством Эйлера. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Кстати, [math]\frac{6}{\pi^2}[/math] - это еще и доля чисел, свободных от квадратов в натуральном ряду.
|
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Автор его не знал (или знал но не воспользовался), он да, раскрыл скобки, взял все возможные варианты взять по сомножителю из каждой скобки, с тем условием, чтобы лишь конечное число не единиц взять.
Конечно, это нуждается в более строгом объяснении, но путь он показал |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
ivashenko писал(а): Кстати, [math]\frac{6}{\pi^2}[/math] - это еще и доля чисел, свободных от квадратов в натуральном ряду. В свете этого утверждения, которое было получено здесь на форуме ранее с помощью компьютерного расчета, задача 92 имеет всё тот же ответ: [math]\frac{6}{\pi^2}[/math], насколько я понимаю. Но как её именно решить или доказать цитируемое утверждение? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Неравенство Чебышева
в форуме Теория вероятностей |
1 |
394 |
14 апр 2015, 18:39 |
|
Неравенство Чебышева
в форуме Теория вероятностей |
3 |
177 |
27 янв 2021, 01:55 |
|
Теорема Чебышёва
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
342 |
08 мар 2018, 19:47 |
|
Узлы Чебышева
в форуме Численные методы |
5 |
553 |
15 фев 2020, 17:25 |
|
Неравенство Чебышева
в форуме Теория вероятностей |
4 |
692 |
06 апр 2015, 23:44 |
|
Неравенство Чебышева | 0 |
208 |
25 окт 2022, 12:01 |
|
теорема Чебышева
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
0 |
271 |
12 дек 2017, 01:19 |
|
Неравенство Чебышева
в форуме Теория вероятностей |
1 |
607 |
06 дек 2014, 09:44 |
|
Неравенство Чебышева
в форуме Теория вероятностей |
1 |
258 |
19 ноя 2017, 14:41 |
|
Многочле́ны Чебышёва
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
158 |
07 мар 2020, 13:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |