Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 16:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 5518
Cпасибо сказано: 529
Спасибо получено:
408 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот нашел по наводке erjoma 3 задачи в задачнике Емельянова по Т.В.
Хотелось бы понять как они решаются.

90. Предполагается, что вероятность наугад выбранному целому числу оказаться кратным[math]n[/math] равна [math]\frac{1}{n}[/math], найти вероятность того, что оно окажется простым.

91. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что два наугад взятых натуральных числа окажутся взаимнопростыми. (Задача Чебышева)

92. В тех же условиях найти вероятность того, что взятое наугад натуральное число не будет делиться ни на один из квадратов.

Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 13:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1858
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
967 раз в 762 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу задачи Чебышева посмотрите здесь

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 16:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 5518
Cпасибо сказано: 529
Спасибо получено:
408 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нашел на mathforume такое решение ИСН от 2005 года:

ИСН писал(а):
Два числа могут оба делиться на 2, вероятность чего 1/4.
Независимо от этого они оба могут делиться на 3, вероятность чего 1/9.
Такая же картина для всех остальных простых чисел.
Поэтому искомая вероятность есть (1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)...
Обратная этому величина 1/(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)... = (1+1/4+1/16+...)(1+1/9+1/81+...)...
(я понятно говорю? разворачиваем каждую скобку в ряд как 1/(1-x) )
Теперь если раскрыть все скобки, то получится просто \sum(1/n^2) по всем натуральным числам. А это pi^2/6.
Всё.


Но к нему предъявляет претензии maxal:
maxal писал(а):
красиво, но нестрого. Кто сказал, что вероятности делимости на различные простые попарно независимы?
А без доказательства независимости произведением вероятностей пользоваться нельзя.

Здесь мне непонятны 2 момента:
1. Мне непонятно, что делает автор решения, начиная отсюда:
Цитата:
Обратная этому величина 1/(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)... = (1+1/4+1/16+...)(1+1/9+1/81+...)...
(я понятно говорю? разворачиваем каждую скобку в ряд как 1/(1-x) )
Теперь если раскрыть все скобки, то получится просто \sum(1/n^2) по всем натуральным числам. А это pi^2/6.
Всё.


2. Также непонятно, чем не удовлетворен в этом решении maxal и о каких вероятностях и какой независимости он говорит

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 16:36 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. [math]\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + ...[/math] просто формула суммы бесконечной геометрической прогрессии, затем перемножает эти ряды.

2. Не строгость самая главная пожалуй в том, что не написано какое вероятностное пространство, обычно подразумевают такое:
берем числа из интервала [math]1...n[/math] (равномерно) считаем вероятность которая нас интересует и ищем ее предел при [math]n\to\infty[/math] и ИСН прав, но нужно в идеале даже после этого допояснить почему тот ряд и будет приделом

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 17:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 5518
Cпасибо сказано: 529
Спасибо получено:
408 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, а откуда следует, что произведение бесконечного множества этих бесконечных рядов равно сумме обратных квадратов? В голове не укладывается, как их можно перемножить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 18:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1858
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
967 раз в 762 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 18:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 5518
Cпасибо сказано: 529
Спасибо получено:
408 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma писал(а):
Тождество Эйлера


Да, спасибо, тогда непонятно, зачем переходили к сумме бесконечной геометрической прогрессии, если можно было сразу воспользоваться тождеством Эйлера.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 18:22 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 5518
Cпасибо сказано: 529
Спасибо получено:
408 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кстати, [math]\frac{6}{\pi^2}[/math] - это еще и доля чисел, свободных от квадратов в натуральном ряду.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 19:14 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Автор его не знал (или знал но не воспользовался), он да, раскрыл скобки, взял все возможные варианты взять по сомножителю из каждой скобки, с тем условием, чтобы лишь конечное число не единиц взять.
Конечно, это нуждается в более строгом объяснении, но путь он показал

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задача Чебышева и еще
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 19:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 5518
Cпасибо сказано: 529
Спасибо получено:
408 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Кстати, [math]\frac{6}{\pi^2}[/math] - это еще и доля чисел, свободных от квадратов в натуральном ряду.
В свете этого утверждения, которое было получено здесь на форуме ранее с помощью компьютерного расчета, задача 92 имеет всё тот же ответ: [math]\frac{6}{\pi^2}[/math], насколько я понимаю. Но как её именно решить или доказать цитируемое утверждение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Не получается задача на неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

nebotan

1

332

03 дек 2012, 21:18

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

GSHXT

1

369

06 дек 2014, 09:44

Полиномы Чебышева.

в форуме Численные методы

paradise

8

1973

28 окт 2013, 19:59

Многочле́ны Чебышёва

в форуме Размышления по поводу и без

ammo77

0

87

07 мар 2020, 13:47

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

Crossproi

1

526

12 мар 2013, 20:30

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

thomas

4

567

06 апр 2015, 23:44

Теорема Чебышёва

в форуме Интегральное исчисление

Teorinorgchem

3

223

08 мар 2018, 19:47

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

xne12

1

148

19 ноя 2017, 14:41

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

ivanna

2

150

06 янв 2019, 01:48

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

DeWaldemar

1

236

14 апр 2015, 18:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved