Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 31 окт 2017, 01:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 окт 2017, 01:44
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.

В одном учебнике по теории вероятностей многие теоремы начинаются словами "Если математической ожидание случайной величины существует и конечно, то ..."

Хочу спросить - зачем помимо требования существования матожидания нужно требовать его конечность, разве второе не следует из первого?

Под существованием матожидания в этом учебнике подразумевается абсолютная сходимость выражающего его ряда (в случае дискретной случайной величины) или интеграла (в случае непрерывной случайной величины). Ведь если мне не изменяет память, из абсолютной сходимости ряда/интеграла для него сразу следует и обычная сходимость, то есть конечность...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 31 окт 2017, 08:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1026
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
216 раз в 212 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажется, что имеется в виду следующее. Интеграл, соответствующий матожиданию, может не существовать - то есть, не выражаться в элементарных функциях. А может расходиться - то есть, быть равным бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 31 окт 2017, 13:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3134
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
687 раз в 620 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Интеграл, соответствующий матожиданию, может не существовать - то есть, не выражаться в элементарных функциях

Это очень странно.
Интеграл - это число, причем здесь элементарные функции?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 31 окт 2017, 20:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3999
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1776 раз в 1480 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
give_up писал(а):
В одном учебнике по теории вероятностей многие теоремы начинаются словами "Если математической ожидание случайной величины существует и конечно, то ..."

Что за учебник?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 31 окт 2017, 21:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 окт 2017, 01:44
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
give_up писал(а):
В одном учебнике по теории вероятностей многие теоремы начинаются словами "Если математической ожидание случайной величины существует и конечно, то ..."

Что за учебник?


Англоязычный онлайн-учебник "Lectures on probability theory and mathematical statistics" by Marco Taboga, весьма популярный на западе. Несколько раз издавался и в бумажном виде.

Вот пример, где в определении момента случайной величины требуется существование и конечность матожидания:
https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/moments#hid2

А вот определение матожидания из того же учебника:
https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/expected-value#hid3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2017, 00:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 09:11
Сообщений: 1413
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
189 раз в 175 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А нет ли там примеров , когда матожидание существует и бесконечно или конечно, но не существут?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2017, 12:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 окт 2017, 01:44
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zer0 писал(а):
А нет ли там примеров , когда матожидание существует и бесконечно или конечно, но не существует?

Вряд ли там есть такие примеры.

Кажется ситуация прояснилась, после того как я почитал строгий учебник Ширяева. Там явно указано, что существование матожидания - это требование [math]\min(\operatorname{E}[\max(X,0)], \operatorname{E}[-\min(X,0)]) < \infty[/math]. А конечность матожидания действительно эквивалентна абсолютной сходимости (интеграла по Лебегу), т.е. условию [math]\operatorname{E}|X| < \infty[/math].

То есть требовать одновременно и конечность, и существование - уже перебор, достаточно потребовать только конечность. Поэтому скорее всего M.Taboga слегка перемудрил в своих определениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Существование и конечность матожидания
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2017, 12:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3134
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
687 раз в 620 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zer0 писал(а):
А нет ли там примеров , когда матожидание существует и бесконечно или конечно, но не существут?

Функция распределения монотонна, а потому нет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Конечность простых чисел Ферма

в форуме Теория чисел

Ferma

14

633

29 апр 2015, 09:24

Вычисление матожидания через характеристическую функцию

в форуме Теория вероятностей

AnnaV

1

36

13 май 2017, 12:50

Существование тетраэдра

в форуме Геометрия

marina5013

1

87

26 мар 2017, 16:21

Существование корня n-ой степени

в форуме Алгебра

Gagarin

3

214

13 май 2015, 20:22

Существование решения системы ДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

DavidBankom

0

102

07 окт 2014, 15:51

Существование решения системы неравенств

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Konstanti[n]

2

131

06 янв 2016, 12:33

Существование несобственного интеграла второго рода

в форуме Интегральное исчисление

vald

3

208

18 мар 2012, 13:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved