Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Матожидание непрерывной СВ с плотностью, содержащей модуль
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=55496
Страница 1 из 1

Автор:  xlink [ 23 авг 2017, 21:54 ]
Заголовок сообщения:  Матожидание непрерывной СВ с плотностью, содержащей модуль

Добрый день!

Решаю задачу 7.41 из учебника "Теория вероятностей" под редакцией В. Зарубина (XVI в серии "Математика в техническом университете)
Пытаюсь найти матожидание СВ, имеющей плотность распределения вероятностей p(x) = e^(-abs(x-3)/2).
Матожидание непрерывной СВ рассчитывается как [math]\int x * p(x) dx[/math] в пределах от -inf до +inf. Интеграл разбиваю на два: первый от -inf до 3, второй от 3 до +inf, что позволяет снять модуль в показателе e. Далее интегрирую по частям: u=x, du=dx, dv=e^((x-3)/2)dx, v=2*e^((x-3)/2), для второго интеграла u аналогично, dv=e^(-(x-3)/2), v=-2*e^(-(x-3)/2). Решаю интегралы vdu, подставляю пределы (с учетом lim (t*e^t) = 0 при t ->-inf) и получаю: 6 - 4 + 6 + 4 = 12.
Однако в учебнике ответ MX=3, интуитивно кажется что это правильный ответ, т.к. график плотности симметричен относительно x=3, и вроде бы это и есть матожидание. Подозреваю что где-то вкралась ошибка.

Буду признателен за комментарии.

Автор:  xlink [ 23 авг 2017, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Матожидание непрерывной СВ с плотностью, содержащей модуль

Прикладываю скрин решения и график плотности

Изображение
Изображение

Автор:  Boris Skovoroda [ 24 авг 2017, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Матожидание непрерывной СВ с плотностью, содержащей модуль

В условии задачи опечатка. Должно быть: [math]p(x)=0.25e^{-0.5 \left| x-3 \right| }.[/math]


Автор:  xlink [ 24 авг 2017, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Матожидание непрерывной СВ с плотностью, содержащей модуль

Действительно, для плотности распределения вероятности должно выполняться условие [math]\int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x)dx = 1[/math]. Эх, надо было сразу проверить! Благодарю! Матожидание соответсвенно получается корректным 12/4 = 3

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/