Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
galachel |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю galachel "Спасибо" сказали: swan |
||
swan |
|
|
[math]2^{N+1}-2[/math]
Занятно. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: galachel |
||
galachel |
|
|
swan писал(а): [math]2^{N+1}-2[/math] Занятно. Объясните пожалуйста как решали? |
||
Вернуться к началу | ||
Boris Skovoroda |
|
|
Для [math]N=2[/math] мне удалось получить этот ответ. Сначала я нашёл вероятность [math]P_{k}[/math] того, что при подбрасывании монеты [math]k[/math] раз орёл выпадет два раза подряд только в конце этой серии бросков, [math][/math][math]P_{k}=\frac{ 1 }{ 2^{k}}\sum\limits_{i=0}^{\left\lfloor{ \frac{ k }{2 }-1 }\right\rfloor }C_{k-i-2}^{i}, k=2,3,...[/math] Затем нашёл среднее число бросков [math]M[/math] как сумму ряда [math]\sum\limits_{k=2}^{ \infty }k P_{k}.[/math] Сумму этого числового ряда удалось вычислить только после того как swan написал, что при решении этой задачи он использовал числа Фибоначчи. Тогда я заметил, что суммы [math]S_{k}= \sum\limits_{i=0}^{\left\lfloor{ \frac{ k }{2 }-1 }\right\rfloor }C_{k-i-2}^{i}, k=2,3,...[/math] образуют последовательность Фибоначчи, то есть [math]S_{2}=1, S_{3}=1[/math] и [math]S_{k}=S_{k-1}+S_{k-2}[/math] при [math]k \geqslant 4.[/math] Значит, для вероятностей [math]P_{k}[/math] справедлива рекурентная формула [math]P_{k}=\frac{ 1 }{ 2 } P_{k-1}+\frac{ 1 }{ 4 } P_{k-2}[/math] при [math]k \geqslant 4.[/math] Это уже позволяет получить, что [math]M=6.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали: galachel, swan |
||
swan |
|
|
Пусть [math]F_{k,n}[/math] - количество способов впервые получить k подряд орлов на n -м шаге.
Можно заметить, что последние[math](k+1)[/math] члены - это[math]011\ldots1[/math] . В оставшейся части (длины [math]n-k-1[/math]) мы не должны встретить [math]k[/math] единичек подряд. Подсчитаем, сколько должны выкинуть. Если у нас впервые [math]k[/math] единиц встречаются на [math]i[/math]-м шагу, то оставшиеся члены могут быть какими угодно Таким образом, всего мы должны выкинуть [math]\sum\limits_{i=1}^{n-k-1} F_{k,i}\cdot2^{n-k-i-1}[/math] Итого: [math]F_{k,n}=2^{n-k-1}-\sum\limits_{i=1}^{n-k-1} F_{k,i}\cdot2^{n-k-i-1}[/math] Путем нехитрых манипуляций получаем рекуррентную формулу: [math]F_{k,n}=F_{k,n-1}+F_{k,n-2}+ \ldots F_{k,n-k}[/math] [math]F_{k,1}=0, \quad F_{k,2}=0, \ldots, F_{k,k-1}=0, \quad F_{k,k}=1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Boris Skovoroda, galachel |
||
Human |
|
|
Пусть [math]\xi[/math] - количество бросков монеты до первого появления последовательности из [math]N[/math] орлов. Введем события [math]A_i,\ 1\leqslant i\leqslant N[/math] - последовательность бросков начинается с [math]\underbrace{O\ldots O }_{i-1}P[/math], то есть с [math](i-1)[/math] подряд идущих орлов и одной решки; и событие [math]B[/math] - последовательность бросков начинается с [math]N[/math] подряд идущих орлов. События [math]A_i,\ B[/math] образуют полную группу попарно несовместных событий. В этом случае для матожидания справедлив аналог формулы полной вероятности:
[math]E\xi=\sum_{i=1}^NE(\xi|A_i)P(A_i)+E(\xi|B)P(B)[/math] где [math]E(\xi|A)=\sum_{k=1}^{\infty}kP(\xi=k|A)[/math] - математическое ожидание случайной величины [math]\xi[/math] при условии, что произошло событие [math]A[/math]. Нетрудно понять, что [math]E(\xi|A_i)=i+E\xi\ \left(\ P(\xi=k|A_i)=P(\xi=k-i)\ \right),\ E(\xi|B)=N\ (\ P(\xi=k|B)=\delta_{kN}\ )[/math] Тогда [math]E\xi=\sum_{i=1}^N(E\xi+i)\frac1{2^i}+\frac N{2^N}=E\xi\left(1-\frac1{2^N}\right)+2\left(1-\frac1{2^N}\right)[/math] откуда [math]E\xi=2^{N+1}-2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Boris Skovoroda, galachel |
||
galachel |
|
|
Human писал(а): Пусть [math]\xi[/math] - количество бросков монеты до первого появления последовательности из [math]N[/math] орлов. Введем события [math]A_i,\ 1\leqslant i\leqslant N[/math] - последовательность бросков начинается с [math]\underbrace{O\ldots O }_{i-1}P[/math], то есть с [math](i-1)[/math] подряд идущих орлов и одной решки; и событие [math]B[/math] - последовательность бросков начинается с [math]N[/math] подряд идущих орлов. События [math]A_i,\ B[/math] образуют полную группу попарно несовместных событий. В этом случае для матожидания справедлив аналог формулы полной вероятности: [math]E\xi=\sum_{i=1}^NE(\xi|A_i)P(A_i)+E(\xi|B)P(B)[/math] где [math]E(\xi|A)=\sum_{k=1}^{\infty}kP(\xi=k|A)[/math] - математическое ожидание случайной величины [math]\xi[/math] при условии, что произошло событие [math]A[/math]. Нетрудно понять, что [math]E(\xi|A_i)=i+E\xi\ \left(\ P(\xi=k|A_i)=P(\xi=k-i)\ \right),\ E(\xi|B)=N\ (\ P(\xi=k|B)=\delta_{kN}\ )[/math] Тогда [math]E\xi=\sum_{i=1}^N(E\xi+i)\frac1{2^i}+\frac N{2^N}=E\xi\left(1-\frac1{2^N}\right)+2\left(1-\frac1{2^N}\right)[/math] откуда [math]E\xi=2^{N+1}-2[/math] Объясните пожалуйста вот эту строчку [math]E(\xi|A_i)=i+E\xi\ \left(\ P(\xi=k|A_i)=P(\xi=k-i)\ \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
chekrygin |
|
|
galachel писал(а): Чему равно математическое ожидание количества подбрасываний монеты, чтобы получить 2 последовательных орла? Посчитал. Получилось 7.Стал искать ошибку. Пришел к выводу, что ответ зависит от того, какая сторона монеты выпала при первом броске. Если, после первого броска, выпал орел, то математическое ожидание количества бросков будет 6. Если, после первого броска выпала решка, то ответ увеличивается на 1. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сложная задача
в форуме Алгебра |
3 |
182 |
25 ноя 2021, 14:43 |
|
Сложная задача
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
10 |
906 |
14 июл 2015, 12:54 |
|
Сложная задача
в форуме Алгебра |
1 |
498 |
21 фев 2016, 15:11 |
|
Сложная задача
в форуме Геометрия |
1 |
557 |
15 май 2014, 21:53 |
|
Сложная геометрическая задача | 4 |
1105 |
03 мар 2015, 18:43 |
|
Сложная задача по терверу
в форуме Теория вероятностей |
1 |
286 |
09 апр 2016, 11:01 |
|
Многочлены (сложная задача) | 0 |
77 |
26 дек 2023, 16:10 |
|
Сложная задача на планиметрию
в форуме Геометрия |
9 |
712 |
08 мар 2016, 22:36 |
|
Сложная задача на делимость | 8 |
894 |
05 окт 2016, 19:18 |
|
Очень сложная задача | 1 |
416 |
20 апр 2016, 21:31 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 43 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |