Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 19 дек 2015, 20:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 мар 2013, 21:48
Сообщений: 54
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дана монета. Чему равно математическое ожидание количества подбрасываний монеты, чтобы получить 2 последовательных орла? 3 последовательных орла? Обобщить до N.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю galachel "Спасибо" сказали:
swan
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 19 дек 2015, 21:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]2^{N+1}-2[/math]
Занятно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
galachel
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 21 дек 2015, 17:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 мар 2013, 21:48
Сообщений: 54
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
[math]2^{N+1}-2[/math]
Занятно.


Объясните пожалуйста как решали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 24 дек 2015, 12:29 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Для [math]N=2[/math] мне удалось получить этот ответ. Сначала я нашёл вероятность [math]P_{k}[/math] того, что при подбрасывании монеты [math]k[/math] раз орёл выпадет два раза подряд только в конце этой серии бросков,

[math][/math]
[math]P_{k}=\frac{ 1 }{ 2^{k}}\sum\limits_{i=0}^{\left\lfloor{ \frac{ k }{2 }-1 }\right\rfloor }C_{k-i-2}^{i}, k=2,3,...[/math]

Затем нашёл среднее число бросков [math]M[/math] как сумму ряда [math]\sum\limits_{k=2}^{ \infty }k P_{k}.[/math] Сумму этого числового ряда удалось вычислить только после того как swan написал, что при решении этой задачи он использовал числа Фибоначчи. Тогда я заметил, что суммы [math]S_{k}= \sum\limits_{i=0}^{\left\lfloor{ \frac{ k }{2 }-1 }\right\rfloor }C_{k-i-2}^{i}, k=2,3,...[/math] образуют последовательность Фибоначчи, то есть [math]S_{2}=1, S_{3}=1[/math] и [math]S_{k}=S_{k-1}+S_{k-2}[/math] при [math]k \geqslant 4.[/math] Значит, для вероятностей [math]P_{k}[/math] справедлива рекурентная формула [math]P_{k}=\frac{ 1 }{ 2 } P_{k-1}+\frac{ 1 }{ 4 } P_{k-2}[/math] при [math]k \geqslant 4.[/math] Это уже позволяет получить, что [math]M=6.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
galachel, swan
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 24 дек 2015, 13:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]F_{k,n}[/math] - количество способов впервые получить k подряд орлов на n -м шаге.
Можно заметить, что последние[math](k+1)[/math] члены - это[math]011\ldots1[/math] . В оставшейся части (длины [math]n-k-1[/math]) мы не должны встретить [math]k[/math] единичек подряд. Подсчитаем, сколько должны выкинуть.
Если у нас впервые [math]k[/math] единиц встречаются на [math]i[/math]-м шагу, то оставшиеся члены могут быть какими угодно

Таким образом, всего мы должны выкинуть [math]\sum\limits_{i=1}^{n-k-1} F_{k,i}\cdot2^{n-k-i-1}[/math]

Итого: [math]F_{k,n}=2^{n-k-1}-\sum\limits_{i=1}^{n-k-1} F_{k,i}\cdot2^{n-k-i-1}[/math]

Путем нехитрых манипуляций получаем рекуррентную формулу:

[math]F_{k,n}=F_{k,n-1}+F_{k,n-2}+ \ldots F_{k,n-k}[/math]

[math]F_{k,1}=0, \quad F_{k,2}=0, \ldots, F_{k,k-1}=0, \quad F_{k,k}=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda, galachel
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 24 дек 2015, 15:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]\xi[/math] - количество бросков монеты до первого появления последовательности из [math]N[/math] орлов. Введем события [math]A_i,\ 1\leqslant i\leqslant N[/math] - последовательность бросков начинается с [math]\underbrace{O\ldots O }_{i-1}P[/math], то есть с [math](i-1)[/math] подряд идущих орлов и одной решки; и событие [math]B[/math] - последовательность бросков начинается с [math]N[/math] подряд идущих орлов. События [math]A_i,\ B[/math] образуют полную группу попарно несовместных событий. В этом случае для матожидания справедлив аналог формулы полной вероятности:

[math]E\xi=\sum_{i=1}^NE(\xi|A_i)P(A_i)+E(\xi|B)P(B)[/math]

где [math]E(\xi|A)=\sum_{k=1}^{\infty}kP(\xi=k|A)[/math] - математическое ожидание случайной величины [math]\xi[/math] при условии, что произошло событие [math]A[/math]. Нетрудно понять, что

[math]E(\xi|A_i)=i+E\xi\ \left(\ P(\xi=k|A_i)=P(\xi=k-i)\ \right),\ E(\xi|B)=N\ (\ P(\xi=k|B)=\delta_{kN}\ )[/math]

Тогда

[math]E\xi=\sum_{i=1}^N(E\xi+i)\frac1{2^i}+\frac N{2^N}=E\xi\left(1-\frac1{2^N}\right)+2\left(1-\frac1{2^N}\right)[/math]

откуда [math]E\xi=2^{N+1}-2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda, galachel
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 17 янв 2016, 07:57 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 мар 2013, 21:48
Сообщений: 54
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Пусть [math]\xi[/math] - количество бросков монеты до первого появления последовательности из [math]N[/math] орлов. Введем события [math]A_i,\ 1\leqslant i\leqslant N[/math] - последовательность бросков начинается с [math]\underbrace{O\ldots O }_{i-1}P[/math], то есть с [math](i-1)[/math] подряд идущих орлов и одной решки; и событие [math]B[/math] - последовательность бросков начинается с [math]N[/math] подряд идущих орлов. События [math]A_i,\ B[/math] образуют полную группу попарно несовместных событий. В этом случае для матожидания справедлив аналог формулы полной вероятности:

[math]E\xi=\sum_{i=1}^NE(\xi|A_i)P(A_i)+E(\xi|B)P(B)[/math]

где [math]E(\xi|A)=\sum_{k=1}^{\infty}kP(\xi=k|A)[/math] - математическое ожидание случайной величины [math]\xi[/math] при условии, что произошло событие [math]A[/math]. Нетрудно понять, что

[math]E(\xi|A_i)=i+E\xi\ \left(\ P(\xi=k|A_i)=P(\xi=k-i)\ \right),\ E(\xi|B)=N\ (\ P(\xi=k|B)=\delta_{kN}\ )[/math]

Тогда

[math]E\xi=\sum_{i=1}^N(E\xi+i)\frac1{2^i}+\frac N{2^N}=E\xi\left(1-\frac1{2^N}\right)+2\left(1-\frac1{2^N}\right)[/math]

откуда [math]E\xi=2^{N+1}-2[/math]


Объясните пожалуйста вот эту строчку [math]E(\xi|A_i)=i+E\xi\ \left(\ P(\xi=k|A_i)=P(\xi=k-i)\ \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача
СообщениеДобавлено: 30 авг 2022, 00:14 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 дек 2020, 10:43
Сообщений: 234
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
18 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: -2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
galachel писал(а):
Чему равно математическое ожидание количества подбрасываний монеты, чтобы получить 2 последовательных орла?
Посчитал. Получилось 7.
Стал искать ошибку.
Пришел к выводу, что ответ зависит от того, какая сторона монеты выпала при первом броске. Если, после первого броска, выпал орел, то математическое ожидание количества бросков будет 6. Если, после первого броска выпала решка, то ответ увеличивается на 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сложная задача

в форуме Алгебра

lemur

3

182

25 ноя 2021, 14:43

Сложная задача

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

olegog

10

906

14 июл 2015, 12:54

Сложная задача

в форуме Алгебра

Alexsander

1

498

21 фев 2016, 15:11

Сложная задача

в форуме Геометрия

Pazuiorstv

1

557

15 май 2014, 21:53

Сложная геометрическая задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Jambo

4

1105

03 мар 2015, 18:43

Сложная задача по терверу

в форуме Теория вероятностей

IvanM

1

286

09 апр 2016, 11:01

Многочлены (сложная задача)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

0

77

26 дек 2023, 16:10

Сложная задача на планиметрию

в форуме Геометрия

KetiS

9

712

08 мар 2016, 22:36

Сложная задача на делимость

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Helios

8

894

05 окт 2016, 19:18

Очень сложная задача

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

gkio

1

416

20 апр 2016, 21:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 43


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved