Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доверительный интервал
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=44566
Страница 1 из 2

Автор:  TeorVer [ 06 ноя 2015, 05:43 ]
Заголовок сообщения:  Доверительный интервал

Пусть [math]X1,X2...Xn[/math] независимые одинаково распределенные по нормальному закону с неизвестными параметрами [math]\mu , \sigma[/math] случайные величины. Найдите такую нижнюю границу [math]L(X1,X2...Xn)[/math] для [math]\mu[/math], что [math]P[\mu > L(X1,X2,...Xn)]=0.99[/math].

Автор:  Boris Skovoroda [ 06 ноя 2015, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

Пусть [math]X_{1}, ..., X_{n}[/math] - независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение
с неизвестными параметрами [math]\mu[/math] и [math]\sigma ,[/math] [math]\overline{X}=\frac{ 1 }{ n }\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}[/math] - выборочное среднее, [math]S^{2}=\frac{ 1 }{ n }\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}[/math] - выборочная дисперсия, тогда статистика [math]T=\sqrt{n-1}\frac{ \overline{X}- \mu }{ S }[/math] имеет распределение Стьюдента с [math]n-1[/math] степенями свободы.


Если [math]t_{ \gamma }[/math] квантиль порядка [math]\boldsymbol{\gamma}=0.99[/math] распределения Стьюдента с [math]n-1[/math] степенями свободы, то [math]P(T<t_{ \gamma })= \boldsymbol{\gamma}.[/math] Осталось решить неравенство [math]T<t_{ \gamma[/math] относительно [math]\mu[/math] и получить явный вид искомой функции [math]L.[/math]


Автор:  TeorVer [ 06 ноя 2015, 23:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

Если правильно всё выразил, то ответ остается в таком виде?
[math]P[\mu > X - \frac{s t_{\gamma}}{\sqrt{n-1}}]=\gamma[/math]

Автор:  TeorVer [ 07 ноя 2015, 00:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

И как тогда найти еще верхнюю границу [math]U(X1,X2...Xn)[/math] для [math]\sigma^2[/math]?
[math]P[\sigma^2< U(X1,X2...Xn)]=0.99[/math]

Автор:  Boris Skovoroda [ 07 ноя 2015, 10:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

TeorVer писал(а):
Если правильно всё выразил, то ответ остается в таком виде?
[math]P[\mu > X - \frac{s t_{\gamma}}{\sqrt{n-1}}]=\gamma[/math]


Не могу сказать, что всё правильно, поскольку вы изменили обозначения, которые были в моём сообщении.
Если обозначения сохранить, то будет так: [math]P[\mu > \overline{X} - t_{\gamma}\frac{S}{\sqrt{n-1}}]=\gamma[/math].


Автор:  Boris Skovoroda [ 07 ноя 2015, 10:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

TeorVer писал(а):
И как тогда найти еще верхнюю границу [math]U(X1,X2...Xn)[/math] для [math]\sigma^2&[/math]
[math]P[\sigma^2< U(X1,X2...Xn)]=0.99[/math]

Для этого нужно использовать другую статистику: [math]T=\frac{ n \cdot S^{2} }{\sigma^2},[/math] которая имеет хи-квадрат распределение с [math]n-1[/math] степенями свободы,
где [math]S^{2}[/math] - выборочная дисперсия.
Возьмём квантиль [math]t_{ \gamma }[/math] порядка [math]\gamma =0.01[/math] хи-квадрат распределения с [math]n-1[/math] степенями свободы, тогда [math]P(T<t_{ \gamma })=\gamma .[/math]
Сможете закончить решение?


Автор:  TeorVer [ 07 ноя 2015, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

Получаем
[math]P[\sigma^{2}<\frac{n s^2}{t_{\gamma}}]=\gamma[/math]
.
Не могу только разобраться, как мы получаем значение для Т статистике. Почему оно разное в этих задачах? Как определить, чему оно равно? И почему [math]t_{\gamma}[/math] в первом случае равно 0.99, а во втором 0.01. :oops:

Автор:  Boris Skovoroda [ 07 ноя 2015, 21:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

TeorVer писал(а):
Получаем
[math]P[\sigma^{2}<\frac{n s^2}{t_{\gamma}}]=\gamma[/math]

И почему [math]t_{\gamma}[/math] в первом случае равно 0.99, а во втором 0.01. :oops:

Этот вопрос возник из-за того, что вы неправильно решили неравенство.


Автор:  Boris Skovoroda [ 08 ноя 2015, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

TeorVer писал(а):
И почему [math]\gamma[/math] в первом случае равно 0.99, а во втором 0.01

Порядок [math]\gamma[/math] квантили [math]t_\gamma[/math] выбираем так, чтобы получить доверительный интервал для неизвестного параметра
с заданной надёжностью, в вашей задаче 0.99.


Вы неравенство [math]T<t_\gamma[/math] когда правильно решите?


Автор:  TeorVer [ 08 ноя 2015, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал

В обратную сторону [math]P[\frac{n S^2}{t_{\gamma}} < \sigma^2 ]=\gamma[/math].
Тогда верхняя граница [math]P[-\frac{n S^2}{t_{\gamma}} > \sigma^2]=\gamma[/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/