Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Коллекция марок
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=43605
Страница 2 из 2

Автор:  zer0 [ 18 окт 2015, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Проверил до n=100 - формула работает :)

Автор:  zer0 [ 18 окт 2015, 23:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

А при n=120 расхождения... Может, C++ неточно формулу считает? Действительно, точности C++ не хватает. :(
При n=120 знакопеременный ряд содержит числа с 15 знаками, а при n=150 нужна точность >20 знаков.

Автор:  Boris Skovoroda [ 19 окт 2015, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Раскройте секрет. Как вы проверяли формулу.


Автор:  zer0 [ 20 окт 2015, 00:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Смоделировал серию экспериментов на компьютере :)

Автор:  Boris Skovoroda [ 20 окт 2015, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Что у вас получается при [math]n=150[/math]с помощью моделирования?


Автор:  zer0 [ 21 окт 2015, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Моделирование C++ дает 838.63 (среднее из 50 экспериментов, в каждом из которых 20000 серий бросков).
Расчет по формуле 97067 (точности не хватает), а Maple по формуле дает 838.677.

Автор:  Boris Skovoroda [ 24 окт 2015, 21:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Удалось упростить ответ. [math]M=n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k } .[/math]


Автор:  zer0 [ 25 окт 2015, 22:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

О-о-о, супер! :shock: Интересно, можно эту формулу вывести простым способом?

Автор:  Boris Skovoroda [ 26 окт 2015, 17:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Я пошёл по сложному пути, который предложил в своём сообщении nefton.
Для меня труднее всего было упростить полученный ответ. Понадобилось тождество [math]\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\frac{ C_{n}^{i} }{ i } =\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ 1 }{ i }.[/math]
О его существовании я раньше не знал.


А простое решение есть. Пусть [math]X_{k}[/math] - число ящиков, которые нужно открыть,
чтобы получить [math]k[/math] - ю марку в коллекцию, если [math]k - 1[/math] марка уже в коллекции есть, здесь [math]k = 1, ..., n.[/math]
Тогда вероятность [math]P(X_{k}=i)=p^{i-1}(1-p), i = 1, 2, ... .[/math], где [math]p=\frac{ k-1 }{ n }[/math] - вероятность того, что в ящике находится марка, которая уже есть в коллекции.


Теперь найдём математическое ожидание случайной величины [math]X_{k}[/math]

.
[math]M(X_{k})=\sum\limits_{i=1}^{ \infty }i \cdot P(X_{k}=i)=\sum\limits_{i=1}^{ \infty }i \cdot p^{i-1}(1-p)=\frac{ 1 }{ 1-p }=\frac{ n }{ n-k+1 }.[/math]

Значит, среднее число ящиков [math]M=\sum\limits_{k=1}^{n}M(X_{k})=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ n }{ n-k+1 }=n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k }[/math] .


Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/