Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 18 окт 2015, 22:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверил до n=100 - формула работает :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 18 окт 2015, 23:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А при n=120 расхождения... Может, C++ неточно формулу считает? Действительно, точности C++ не хватает. :(
При n=120 знакопеременный ряд содержит числа с 15 знаками, а при n=150 нужна точность >20 знаков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 19 окт 2015, 22:56 
В сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 585
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
181 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Раскройте секрет. Как вы проверяли формулу.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 20 окт 2015, 00:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Смоделировал серию экспериментов на компьютере :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 20 окт 2015, 21:16 
В сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 585
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
181 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Что у вас получается при [math]n=150[/math]с помощью моделирования?


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 21 окт 2015, 17:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Моделирование C++ дает 838.63 (среднее из 50 экспериментов, в каждом из которых 20000 серий бросков).
Расчет по формуле 97067 (точности не хватает), а Maple по формуле дает 838.677.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю zer0 "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 24 окт 2015, 21:10 
В сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 585
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
181 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Удалось упростить ответ. [math]M=n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k } .[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
zer0
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 25 окт 2015, 22:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О-о-о, супер! :shock: Интересно, можно эту формулу вывести простым способом?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коллекция марок
СообщениеДобавлено: 26 окт 2015, 17:30 
В сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 585
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
181 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Я пошёл по сложному пути, который предложил в своём сообщении nefton.
Для меня труднее всего было упростить полученный ответ. Понадобилось тождество [math]\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\frac{ C_{n}^{i} }{ i } =\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{ 1 }{ i }.[/math]
О его существовании я раньше не знал.


А простое решение есть. Пусть [math]X_{k}[/math] - число ящиков, которые нужно открыть,
чтобы получить [math]k[/math] - ю марку в коллекцию, если [math]k - 1[/math] марка уже в коллекции есть, здесь [math]k = 1, ..., n.[/math]
Тогда вероятность [math]P(X_{k}=i)=p^{i-1}(1-p), i = 1, 2, ... .[/math], где [math]p=\frac{ k-1 }{ n }[/math] - вероятность того, что в ящике находится марка, которая уже есть в коллекции.


Теперь найдём математическое ожидание случайной величины [math]X_{k}[/math]

.
[math]M(X_{k})=\sum\limits_{i=1}^{ \infty }i \cdot P(X_{k}=i)=\sum\limits_{i=1}^{ \infty }i \cdot p^{i-1}(1-p)=\frac{ 1 }{ 1-p }=\frac{ n }{ n-k+1 }.[/math]

Значит, среднее число ящиков [math]M=\sum\limits_{k=1}^{n}M(X_{k})=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ n }{ n-k+1 }=n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k }[/math] .


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
zer0
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
У Остaпa есть своя коллекция

в форуме Алгебра

sebek

2

153

13 май 2020, 14:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved