Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Коллекция марок
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=43605
Страница 1 из 2

Автор:  TeorVer [ 26 сен 2015, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Коллекция марок

Вы собираете коллекцию из n различных марок. Имеется бесконечное число ящиков, в каждом из которых лежит одна марка причем она равновероятно может быть любой из коллекции. Чему равно среднее число ящиков, которые вам необходимо открыть прежде чем Вы соберете полную коллекцию марок?

Решение:
То есть p=1/n (что в ящике окажется нужная марка). Определим события:
A1={в ящике первая марка} P(A1)=1/n
A2={в ящике вторая марка} P(A2)=1/n
... ...
An={в ящике n-ая марка} P(An) =1/n


B1 = {в 1ом ящике одна из n марок} P(B1)=n*1/n
B2 = {во 2ом ящике одна из n-1 марок} P(B1)=(n-1)*1/n
... ...
Bn = {в n-ом ящике последняя марка} P(B1)=1*1/n

Тогда вероятность, что мы соберем полную коллекцию: P(B)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn). А потом находим E(P(B)) и это будет среднее кол-во ящиков.

Вопрос собственно в чем - верны ли мои рассуждения? Потому что меня смущает конечный ответ. Кажется что-то упущено, не могу понять, что.

Автор:  swan [ 26 сен 2015, 18:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

К сожалению, сложно сказать о верности ваших рассуждений, за отсутствием последних.

Автор:  ivashenko [ 26 сен 2015, 20:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

А что такое среднее количество ящиков? И есть ли по условию какая - либо вероятность события "соберете полную коллекцию" или это должно быть достоверное событие?

Автор:  swan [ 26 сен 2015, 22:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Вообще, присмотревшись, решение напоминает правильное. Оформлено только безобразно, начиная с бессмысленных [math]A_i[/math] и совершенно непонятных событиях [math]B_i[/math] (может вы и правильно подразумевали, но написали чушь).
Определите [math]B_k[/math] как то, что, имея [math]k-1[/math] марку, вы "доберете" еще одну и далее по тексту.

Автор:  nefton [ 16 окт 2015, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Имхо решение этой проблемы архисложное.
1. Надо посчитать вероятность закончить собирать коллекцию на k-ом ящике.
при k<N вероятность = 0;
Для этого надо собрать все марки кроме одной(любой) в k-1 ящиках
и в k-ом ящике найти эту марку
Уже эта задача не из лёгких, но самый труд впереди.
Мы получили P(k);
2. Среднее кол-во ящиков это [math]\lim_{M \to \infty } \frac{\sum\limits_{i = 0}^{M}P(i)*i}{ M }[/math]

Замечу самое вероятное число ящиков для сбора коллекции не равно среднему числу ящиков
Путей решения кроме как в лоб я не вижу.

Автор:  Boris Skovoroda [ 17 окт 2015, 18:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

nefton писал(а):
Среднее кол-во ящиков это [math]\ \lim_{M \to \infty } \frac{\sum\limits_{i = 0}^{M }P(i)*i}{ M }[/math]

Зачем вы поделили на [math]M[/math]?


Среднее количество ящиков будет равно сумме ряда [math]\sum\limits_{i = 0}^{ \infty}P(i)*i}.[/math]


При [math]n=2[/math] эта сумма равна трём. В общем случае простой ответ у меня не получается.

Автор:  zer0 [ 18 окт 2015, 14:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

n M
3 11/2
4 28/3
5 137/12
Конкретное n можно просчитать, хоть и канительно. А вот как посчитать произвольное - непонятно.

Автор:  zer0 [ 18 окт 2015, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

Для n=4 ответ 25/3 (т.е. не 9.33., а 8.33.)

Автор:  zer0 [ 18 окт 2015, 18:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

n M
3 11/2 5.5
4 25/3 8.33333333...
5 137/12 11.41666666...
Вроде так

Автор:  Boris Skovoroda [ 18 окт 2015, 21:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коллекция марок

У меня такие же ответы. Думаю, что вы можете написать и общую формулу, поскольку нашли ответ при [math]n=5[/math]. Вопрос только в том, можно ли упростить полученную формулу. У меня ответ сейчас в таком виде:
[math]M=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+1}C_{n-1}^{n-k} p^{n-1}\frac{ n-(n-1)p }{ (1-p)^{2} }[/math], где [math]p=\frac{ n-k }{ n }.[/math]


Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/