Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 11:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2015, 11:04
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Легкая задача. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0.9, вторым – 0.8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень.
Решение. Вероятность того, что оба стрелка промахнулись. P(0) = q1*q2 = 0.1 • 0.2 = 0.02
Вероятность того, что один из стрелков попал в мишень. P(1) = p1•q2 + q1•p2 = 0.9 • 0.2 + 0.1 • 0.8 = 0.26
Вероятность того, что оба стрелка попали в мишень. P(2) = p1•p2 = 0.9 • 0.8 = 0.72
x 0 1 2
p 0.02 0.26 0.72
Моя задача. Но! Господа! У меня задача другая. Всё тоже самое, но :cry: 50 стрелков :cry: . И для каждого известна вероятность. Я не могу составить формулы для P(4)....P(49)(слишком громоздкие получаются). Принцип как считать понимаю. Но обобщить формулы для n стрелков не могу. Помогите пожалуйста. Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 12:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наверняка, это что-то известное.
Возможно, поможет производящая функция
[math]\prod\limits_{k = 1}^n{\left({{q_k}+{p_k}x}\right)}[/math],
где [math]p_k[/math] и [math]q_k[/math] - вероятности попадания и промаха в цель [math]k[/math]-го стрелка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
loban
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 12:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2015, 11:04
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Наверняка, это что-то известное.
Возможно, поможет производящая функция
[math]\prod\limits_{k = 1}^n{\left({{q_k}+{p_k}x}\right)}[/math],
где [math]p_k[/math] и [math]q_k[/math] - вероятности попадания и промаха в цель [math]k[/math]-го стрелка.

Как раз к этой формуле я и пришел, но эта формула не позволяет учесть необходимое нам количество успехов и неудач в испытаниях. Например - подскажите как будет выглядеть формула для такого случая: 50 стрелков, и мы хотим понять вероятность того что 20 из них попадут (при том что нам известны вероятности всех).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 12:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вероятность того что 20 из 50 них попадут равна коэффициенту при 20-ой степени переменной [math]x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 12:47 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 19:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
loban писал(а):
Prokop писал(а):
Наверняка, это что-то известное.
Возможно, поможет производящая функция
[math]\prod\limits_{k = 1}^n{\left({{q_k}+{p_k}x}\right)}[/math],
где [math]p_k[/math] и [math]q_k[/math] - вероятности попадания и промаха в цель [math]k[/math]-го стрелка.

Как раз к этой формуле я и пришел, но эта формула не позволяет учесть необходимое нам количество успехов и неудач в испытаниях. Например - подскажите как будет выглядеть формула для такого случая: 50 стрелков, и мы хотим понять вероятность того что 20 из них попадут (при том что нам известны вероятности всех).


Можете посмотреть общую теорему о повторении опытов в книге Теория вероятностей Е. С. Вентцель.
Там говорится, что степени при [math]x[/math] в выражении [math]\prod\limits_{k=1}^{n} (q_k+p_k \, x)[/math] соответствуют числу появления события [math]m[/math] раз в [math]n[/math] независимых опытах.
[math]\prod\limits_{k=1}^{n} (q_k+p_k \, x)=\sum\limits_{m=0}^{n}P_{m,n} \, x^m[/math], где [math]P_{m,n}[/math]- вероятность того, что событие появилось [math]m[/math] раз в [math]n[/math] опытах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали:
loban
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 12:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2015, 11:04
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SAVANTOS писал(а):
loban писал(а):
Prokop писал(а):
Наверняка, это что-то известное.
Возможно, поможет производящая функция
[math]\prod\limits_{k = 1}^n{\left({{q_k}+{p_k}x}\right)}[/math],
где [math]p_k[/math] и [math]q_k[/math] - вероятности попадания и промаха в цель [math]k[/math]-го стрелка.

Как раз к этой формуле я и пришел, но эта формула не позволяет учесть необходимое нам количество успехов и неудач в испытаниях. Например - подскажите как будет выглядеть формула для такого случая: 50 стрелков, и мы хотим понять вероятность того что 20 из них попадут (при том что нам известны вероятности всех).


Можете посмотреть общую теорему о повторении опытов в книге Теория вероятностей Е. С. Вентцель.
Там говорится, что степени при [math]x[/math] в выражении [math]\prod\limits_{k=1}^{n} (q_k+p_k \, x)[/math] соответствуют числу появления события [math]m[/math] раз в [math]n[/math] независимых опытах.
[math]\prod\limits_{k=1}^{n} (q_k+p_k \, x)=\sum\limits_{m=0}^{n}P_{m,n} \, x^m[/math], где [math]P_{m,n}[/math]- вероятность того, что событие появилось [math]m[/math] раз в [math]n[/math] опытах.

Спасибо за ответы! Но я возможно всё-таки чего-то не понимаю. Проблема в том что у нас вероятности разные. q1,q2,q3...qn. Как данная формула отражает разные вероятности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 14:39 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 19:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Спасибо за ответы! Но я возможно всё-таки чего-то не понимаю. Проблема в том что у нас вероятности разные. q1,q2,q3...qn. Как данная формула отражает разные вероятности?


В [math]q_k[/math] и [math]p_k[/math] отражены разные вероятности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали:
loban
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 18:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2015, 11:04
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SAVANTOS писал(а):
Цитата:
Спасибо за ответы! Но я возможно всё-таки чего-то не понимаю. Проблема в том что у нас вероятности разные. q1,q2,q3...qn. Как данная формула отражает разные вероятности?


В [math]q_k[/math] и [math]p_k[/math] отражены разные вероятности.

Правлю сообщение. Прочитал книжку - принцип понял.В общем разобрался. Всем огромное спасибо за помощь, но остался 1 вопрос. Может кто-то знает как мне благодаря этому равенству - [math]\prod\limits_{k=1}^{n} (q_k+p_k \, x)=\sum\limits_{m=0}^{n}P_{m,n} \, x^m[/math]
Получить ответ например в пакете Matematica. Задам массив со значениями [math]q[/math] и [math]p[/math]. Попробую упростить выражение и по коэффициентам перед [math]x[/math] пойму искомые вероятности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 24 авг 2015, 19:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 19:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Получить ответ например в пакете Matematica. Задам массив со значениями [math]q[/math] и [math]p[/math]. Попробую упростить выражение и по коэффициентам перед [math]x[/math] пойму искомые вероятности?


Один из вариантов в wolfram mathematica.
p={0.2, 0.4, 0.7};
q={0.8, 0.6, 0.3};

pol=(q+p*x);

CoefficientList[Product[pol[[i]], {i, 1, Length[pol]}], x]


В последнем выражении будут искомые вероятности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали:
loban
 Заголовок сообщения: Re: Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Обобщить
СообщениеДобавлено: 25 авг 2015, 20:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2015, 11:04
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SAVANTOS писал(а):
Цитата:
Получить ответ например в пакете Matematica. Задам массив со значениями [math]q[/math] и [math]p[/math]. Попробую упростить выражение и по коэффициентам перед [math]x[/math] пойму искомые вероятности?


Один из вариантов в wolfram mathematica.
p={0.2, 0.4, 0.7};
q={0.8, 0.6, 0.3};

pol=(q+p*x);

CoefficientList[Product[pol[[i]], {i, 1, Length[pol]}], x]


В последнем выражении будут искомые вероятности.

Огромное Вам спасибо! Очень выручили!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень

в форуме Теория вероятностей

klijmsr

2

593

30 ноя 2018, 02:15

Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень

в форуме Теория вероятностей

klijmsr

1

223

04 дек 2018, 10:31

Три стрелка, у которых вероятность попадания в мишень равна

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Tatiana_1

1

198

21 сен 2022, 14:15

Про мишень

в форуме Теория вероятностей

LeraVRN95

1

261

29 июн 2015, 10:08

Мишень в виде кубика

в форуме Теория вероятностей

chekrygin

2

171

02 июл 2022, 14:17

Вероятности попаданий в мишень

в форуме Теория вероятностей

Ursa99

2

239

03 ноя 2018, 06:43

Мат.ожидание попаданий в мишень

в форуме Теория вероятностей

rancid_rot

6

241

21 ноя 2020, 16:32

Два стрелка

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Ciber15

4

310

27 сен 2018, 21:53

Три стрелка

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Ylia1987++

0

224

09 дек 2017, 00:15

В какую мишень выгоднее стрелять?

в форуме Теория вероятностей

mad_math

7

332

20 июн 2020, 23:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: revos и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved