Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вероятность извлечения шаров с возращением
СообщениеДобавлено: 24 июн 2015, 17:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2015, 17:26
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток.

Задача:
Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают последовательно с возвращением 5 шаров. Какова вероятность, что будут вынуты 2 белых и 3 чёрных шара?

Способ решения 1:
Рассмотрим исход (ббччч). Его вероятность [math]\frac{ 3^{2} 4^{3} }{ 7^{5} }[/math] (из правила перемножения вероятностей для независимых событий).
Число возможных таких исходов [math]C_{5}^{2}[/math] (выбор номеров опыта, когда будут извлечены белые шары).
Таким образом получаем ответ: [math]P = C_{5}^{2}\frac{ 3^{2} 4^{3} }{ 7^{5} }[/math]
Способ решения 2:
Число способов выбрать 5 шаров из 7 с возвращениями и без учёта порядка: [math]C_{7+5-1}^{5} = C_{11}^{5}[/math]
Число способов выбрать два белых шара из 3: [math]C_{3+2-1}^{2} = C_{4}^{2}[/math]
Число способов выбрать три черных шара из 4: [math]C_{4+3-1}^{3} = C_{6}^{3}[/math]
Таким образом [math]P = \frac{C_{4}^{2} * C_{6}^{3} }{ C_{11}^{5} }[/math]

Очевидно, что ответы не совпадают. При этом стоит отметить, что если изменить условие задачи (т.е. не возвращать шарики после их изъятия), то оба способа дадут один и тот же ответ. Лично я склонен верить ответу, полученным первым способом, но причину их различия (т.е. неверности второго) найти не могу.

Подскажите, пожалуйста, в чём тут дело.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вероятность извлечения шаров с возращением
СообщениеДобавлено: 24 июн 2015, 17:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ошибка во втором способе очевидная - не учитываете возвращение шаров после каждой очередной выборки. Кроме этого, первый способ решения не может давать тот же самый ответ для выборки шаров без возвращения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Olegoner
 Заголовок сообщения: Re: Вероятность извлечения шаров с возращением
СообщениеДобавлено: 24 июн 2015, 17:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2015, 17:26
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Ошибка во втором способе очевидная - не учитываете возвращение шаров после каждой очередной выборки.

Каким образом это должно быть учтено? Поскольку я понимаю, во втором способе мы находим число способов сделать выборку, которая нас устраивает, и делим на все возможные способы сделать выборку.
Если мы сделали выборку (из 5 шаров), которая содержит два белых и три чёрных то выбрать их можно, как я понимаю, [math]C_{4}^{2} * C_{6}^{3}[/math] способом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вероятность извлечения шаров с возращением
СообщениеДобавлено: 24 июн 2015, 17:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2015, 17:26
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Кроме этого, первый способ решения не может давать тот же самый ответ для выборки шаров без возвращения.

Имеется ввиду [math]P = C_{5}^{2} \frac{ (3*2)*(4*3*2) }{ 7*5*4*3*2 } = \frac{ C_{3}^{2} C_{4}^{3} }{ C_{7}^{5} }[/math]
По сути, в эксперименте с возвратом шаров способ 1 является ни чем иным, как применением формулы Бернулли.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вероятность извлечения шаров с возращением
СообщениеДобавлено: 24 июн 2015, 20:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Olegoner писал(а):
michel писал(а):
Ошибка во втором способе очевидная - не учитываете возвращение шаров после каждой очередной выборки.

Каким образом это должно быть учтено? Поскольку я понимаю, во втором способе мы находим число способов сделать выборку, которая нас устраивает, и делим на все возможные способы сделать выборку.
Если мы сделали выборку (из 5 шаров), которая содержит два белых и три чёрных то выбрать их можно, как я понимаю, [math]C_{4}^{2} * C_{6}^{3}[/math] способом.

Вы не учитываете, что один и тот же шар может быть извлечен повторно, поэтому правильно так: [math]3^2 \cdot 4^3[/math] число способов вытащить нужную комбинацию шаров

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Olegoner
 Заголовок сообщения: Re: Вероятность извлечения шаров с возращением
СообщениеДобавлено: 24 июн 2015, 21:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2015, 17:26
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем спасибо. Я разобрался. Ошибка во втором способе вот в чём:
второй способ основан на формуле классической вероятности, в которой действует принцип равной вероятности. Формула числа исходов с возвращениями и без учёта порядка, которую я использовал, этому принципу не удовлетворяет, а значит таким способом (по формуле классической вероятности) данную задачу решать нельзя.
Вопрос исчерпан.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вероятность извлечения буквы

в форуме Теория вероятностей

Fufirik

1

332

14 окт 2018, 13:53

Вероятность цвета из четырех шаров

в форуме Теория вероятностей

Aollo

26

720

02 мар 2023, 13:53

Вероятности извлечения карт

в форуме Теория вероятностей

Fufirik

1

191

14 окт 2018, 14:56

Извлечения корни и возведение в степен

в форуме Алгебра

Tantan

7

265

05 дек 2018, 17:37

20 шаров по 15 ящиков

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Ace_400

2

464

22 дек 2017, 11:27

В урне 15 шаров

в форуме Теория вероятностей

contor

8

607

06 фев 2015, 13:17

100 шаров в урне

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

kostik1307

1

296

22 апр 2020, 00:01

Случайные перестановки шаров

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

nnuttertools

15

617

09 фев 2019, 20:18

Найти количество шаров

в форуме Теория вероятностей

Suler

17

559

14 дек 2021, 13:25

6 шаров, 3 ящика, все непустые

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

alekscooper

18

2925

18 янв 2017, 16:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved