Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Olegoner |
|
|
Задача: Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают последовательно с возвращением 5 шаров. Какова вероятность, что будут вынуты 2 белых и 3 чёрных шара? Способ решения 1: Рассмотрим исход (ббччч). Его вероятность [math]\frac{ 3^{2} 4^{3} }{ 7^{5} }[/math] (из правила перемножения вероятностей для независимых событий). Число возможных таких исходов [math]C_{5}^{2}[/math] (выбор номеров опыта, когда будут извлечены белые шары). Таким образом получаем ответ: [math]P = C_{5}^{2}\frac{ 3^{2} 4^{3} }{ 7^{5} }[/math] Способ решения 2: Число способов выбрать 5 шаров из 7 с возвращениями и без учёта порядка: [math]C_{7+5-1}^{5} = C_{11}^{5}[/math] Число способов выбрать два белых шара из 3: [math]C_{3+2-1}^{2} = C_{4}^{2}[/math] Число способов выбрать три черных шара из 4: [math]C_{4+3-1}^{3} = C_{6}^{3}[/math] Таким образом [math]P = \frac{C_{4}^{2} * C_{6}^{3} }{ C_{11}^{5} }[/math] Очевидно, что ответы не совпадают. При этом стоит отметить, что если изменить условие задачи (т.е. не возвращать шарики после их изъятия), то оба способа дадут один и тот же ответ. Лично я склонен верить ответу, полученным первым способом, но причину их различия (т.е. неверности второго) найти не могу. Подскажите, пожалуйста, в чём тут дело. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Ошибка во втором способе очевидная - не учитываете возвращение шаров после каждой очередной выборки. Кроме этого, первый способ решения не может давать тот же самый ответ для выборки шаров без возвращения.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Olegoner |
||
Olegoner |
|
|
michel писал(а): Ошибка во втором способе очевидная - не учитываете возвращение шаров после каждой очередной выборки. Каким образом это должно быть учтено? Поскольку я понимаю, во втором способе мы находим число способов сделать выборку, которая нас устраивает, и делим на все возможные способы сделать выборку. Если мы сделали выборку (из 5 шаров), которая содержит два белых и три чёрных то выбрать их можно, как я понимаю, [math]C_{4}^{2} * C_{6}^{3}[/math] способом. |
||
Вернуться к началу | ||
Olegoner |
|
|
michel писал(а): Кроме этого, первый способ решения не может давать тот же самый ответ для выборки шаров без возвращения. Имеется ввиду [math]P = C_{5}^{2} \frac{ (3*2)*(4*3*2) }{ 7*5*4*3*2 } = \frac{ C_{3}^{2} C_{4}^{3} }{ C_{7}^{5} }[/math] По сути, в эксперименте с возвратом шаров способ 1 является ни чем иным, как применением формулы Бернулли. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Olegoner писал(а): michel писал(а): Ошибка во втором способе очевидная - не учитываете возвращение шаров после каждой очередной выборки. Каким образом это должно быть учтено? Поскольку я понимаю, во втором способе мы находим число способов сделать выборку, которая нас устраивает, и делим на все возможные способы сделать выборку. Если мы сделали выборку (из 5 шаров), которая содержит два белых и три чёрных то выбрать их можно, как я понимаю, [math]C_{4}^{2} * C_{6}^{3}[/math] способом. Вы не учитываете, что один и тот же шар может быть извлечен повторно, поэтому правильно так: [math]3^2 \cdot 4^3[/math] число способов вытащить нужную комбинацию шаров |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Olegoner |
||
Olegoner |
|
|
Всем спасибо. Я разобрался. Ошибка во втором способе вот в чём:
второй способ основан на формуле классической вероятности, в которой действует принцип равной вероятности. Формула числа исходов с возвращениями и без учёта порядка, которую я использовал, этому принципу не удовлетворяет, а значит таким способом (по формуле классической вероятности) данную задачу решать нельзя. Вопрос исчерпан. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вероятность извлечения буквы
в форуме Теория вероятностей |
1 |
332 |
14 окт 2018, 13:53 |
|
Вероятность цвета из четырех шаров
в форуме Теория вероятностей |
26 |
720 |
02 мар 2023, 13:53 |
|
Вероятности извлечения карт
в форуме Теория вероятностей |
1 |
191 |
14 окт 2018, 14:56 |
|
Извлечения корни и возведение в степен
в форуме Алгебра |
7 |
265 |
05 дек 2018, 17:37 |
|
20 шаров по 15 ящиков
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
2 |
464 |
22 дек 2017, 11:27 |
|
В урне 15 шаров
в форуме Теория вероятностей |
8 |
607 |
06 фев 2015, 13:17 |
|
100 шаров в урне
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
296 |
22 апр 2020, 00:01 |
|
Случайные перестановки шаров
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
15 |
617 |
09 фев 2019, 20:18 |
|
Найти количество шаров
в форуме Теория вероятностей |
17 |
559 |
14 дек 2021, 13:25 |
|
6 шаров, 3 ящика, все непустые
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
18 |
2925 |
18 янв 2017, 16:08 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |