Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 07 авг 2014, 13:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 авг 2014, 11:43
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В просторах интернета наткнулся на любопытную задачку со следующей формулировкой:
Цитата:
Граждане некой страны очень давно живут по следующим правилам: семья производит на свет детей до первого мальчика, после чего дети в семье не рождаются. Рождаются только мальчики и девочки с равными вероятностями; близнецы не рождаются. Определить долю мужского населения в этой стране. Считать, что смертность не зависит от пола.

В конце автор (уверенности в его авторстве нет, но назовём его так) задачи предлагает уже некоторое решение. Для любопытных я оставлю его ниже.
▼ Авторское решение
Задача-ловушка. Правило «в семье ровно один мальчик» никак не влияет на вероятность рождения мальчика в целом в стране. Правильный ответ: 50%.

Но, по моему мнению, у этой задачи как минимум имеется ещё одно, немного более сложное, но более правдоподобное решение.

Из условия задачи мы знаем, что вероятность рождения мальчика ([math]\mathsf{P} (b)[/math]) и девочки ([math]\mathsf{P} (g)[/math]) равны (50%).
Посчитаем вероятность рождения i-го ребёнка:

Если i = 0 (первый ребёнок):

[math]\mathsf{P} _{0}(c) = 1[/math]

для i > 0:

[math]\mathsf{P} _{i}(c) = \prod\limits_{0}^{i-1} \mathsf{P} (g)[/math]

Теперь давайте посчитаем среднее количество мальчиков в семье:

[math]N_{b} = \sum\limits_{i} P_{i}(c) P(b) * 1[/math]

[math]N_{b} = 1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,4 + ... = 1[/math]

Количество же девочек в среднем будет составлять:

[math]N_{g} = \sum\limits_{i-1} P_{n}(c) * i + \sum\limits_{i} P_{i}(c) P(g) * 1[/math]

Первая составляющая будет учитывать количество уже рождённых девочек. Вторая составляющая эквивалентна количеству девочек рождённых последними.

[math]\sum\limits_{i-1} P_{n}(c) * i = 1 * 0 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 * 1 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,4 * 2 + ... = 2[/math]

[math]N_{g} = 2 + 1[/math]

Хотел бы услышать мнение сообщества на счёт второго решения.

P.S. Считая воспользовался формулами:
sum n/2^(n+1)
sum n/2^(n)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 07 авг 2014, 14:09 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1440
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
611 раз в 484 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VladymyrL писал(а):
Теперь давайте посчитаем среднее количество мальчиков в семье:
Считать не надо. По условии в любой семье ровно один мальчик.
В формуле для матожидания числа девочек в семье есть ошибка.
вероятность что будет 0 девочек [math]p_0=\frac 1 2[/math]. Вобщем [math]p_n=\frac{1}{2^{n+1}}[/math]
Так что матожидание числа девочек 1.
Да и его считать тоже не надо. Распределение геометрическое. Формула для мат. ожидания геометрического распределения известна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 07 авг 2014, 21:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поскольку каждое отдельное рождение дает м/д с равной вероятостью, это соотношение останется верным, какие бы правила для следующего рождения не придумывали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 07 авг 2014, 21:58 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1440
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
611 раз в 484 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zer0, это и есть авторское решение. Просто топикстартер решил, что углубленное погружение в теорию вероятностей даст другой ответ. Вот и погружаемся. :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 07 авг 2014, 23:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6375
Cпасибо сказано: 645
Спасибо получено:
522 раз в 488 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я думаю, что в данной задаче ответ не может быть 50 на 50, потому, что рождение нескольких девочек подряд, а затем мальчика - возможно, а рождение нескольких мальчиков, а затем девочки- невозможно. На мой взгляд при бесконечном существовании этого государства и бесконечном росте населения, а также при возможности девочке создать семью без мужа или полигиническую семью и родить детей, соотношение будет стремиться к 100 процентам девочек. При рассмотрении такого государства без учета создания новых семей и при условии , что люди могут жить и рожать вечно, отношение количества мальчиков к количеству девочек будет следующим:
[math]\frac{0.5}{\sum_{n=0}^{\infty}{0.5^{n+1}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 08 авг 2014, 11:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11718
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 798
Спасибо получено:
1994 раз в 1832 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первом приплоде 50/50. Второй приплод в два раза меньше, соотношение полов в нём также 50/50. Третий приплод в 4-ре раза меньше первого, соотношение полов 50/50. И так далее. Любой приплод даст соотношение 50/50, так что во всём всем обществе всегда будет 50/50. Таким способом можно только повлиять на рост численности, при сохранении соотношения полов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 08 авг 2014, 12:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 авг 2014, 11:43
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо всем участникам обсуждения.
Внесу пару уточнений:

Цитата:
По условии в любой семье ровно один мальчик.

Этого в условии нет. Есть указание того что в семье последним должен родится мальчик. Как вы думаете много семей умеет рожать последних мальчиков, которые в момент рождения следующего ребёнка становятся девочками, чтобы новорождённый стал мальчиком? :D1
А ведь только таким образом мы обеспечим строгое соблюдение правила, что в любой семье ровно один мальчик. Поэтому предлагаю отбросить это допущение как нелепицу, возникшую в результате, скорее всего шутливого характера самой задачи.
Т.е. мы должны учитывать, что мальчиков в семьях может и не быть вовсе. А вот математическое ожидание рождения мальчика посчитать вполне разумно.

Проясню чуть детальнее ход моих мыслей относительно среднего количества девочек в семье ведь оно вызвало затруднения.
Давайте вспомним чему равно мат. ожидание для дискретных величин?

[math]M_{x} =\sum\limits_{i} x_{i} * P_{i}[/math]

И для мальчиков условие говорит нам о том что их не может быть больше чем один. Те. множество состоит из Xi = {1, 1, 1, ...}
Для девочек же условие не вводит такого ограничения и множество Xi = {1, 2, 3, 4, ...}

И вот мальчиков у нас

[math]M(b) = \sum\limits_{i} \frac{ 1 }{ 2^{i+1} }[/math]

а вот девочек

[math]M(g) = \sum\limits_{i} \frac{ i }{ 2^{i+1} }[/math]

И не смотря на это разница как оказывается не такая и большая. :lol:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 08 авг 2014, 12:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11718
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 798
Спасибо получено:
1994 раз в 1832 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VladymyrL писал(а):
Т.е. мы должны учитывать, что мальчиков в семьях может и не быть вовсе.

Конечно! Тогда процесс деторождения продолжается. До этого соотношение было 50/50, после останется 50/50.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 08 авг 2014, 15:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6375
Cпасибо сказано: 645
Спасибо получено:
522 раз в 488 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Похоже я ошибся, но задача все же содержит парадокс:"При бесконечном рождении детей в сем"ях, общее количество мальчиков будет равно количеству семей n, т.е. в каждой семье будет ровно один мальчик и дальнейшее рождение детей прекратится". Количество же семей в которых не будет девочек окажется равным половине всех семей: [math]\frac{n}{2}[/math]. А во воторой половине семей окажется [math]\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\infty}{0.5^{-k}}=n[/math], т.е. количество девочек также равно количеству семей и равно количеству мальчиков. Здесь есть еще один парадокс: решение получается верным только в случае, когда рассматривается бесконечный процесс рождения. В реальности же решение существует лишь для количества семей равное [math]n=2^m[/math], потому, что половина или часть ребенка не может родиться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать соотношение полов в государстве
СообщениеДобавлено: 08 авг 2014, 15:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11718
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 798
Спасибо получено:
1994 раз в 1832 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да нет тут никаких парадоксов. Задача была бы интересной, если бы число детей в семье было бы ограничено. Например, не более 3-х. Вот теперь решайте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 27 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Рекуррентное соотношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

exponenta98

1

192

04 дек 2019, 22:20

Рекуррентное соотношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

UndeadUser3

3

376

21 апр 2019, 18:59

Рекуррентное соотношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Nikejke

1

477

19 дек 2016, 22:04

Рекуррентное соотношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

tiar_frv

3

570

17 май 2016, 22:59

Рекуррентное соотношение

в форуме Ряды

ChpokHead

5

418

14 окт 2018, 17:35

Реккурентное соотношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

KathrineG

0

233

26 ноя 2016, 19:40

Как рассчитать соотношение?

в форуме Алгебра

Linux_Gamer

3

245

17 янв 2021, 19:34

Проверить соотношение

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

hatefiles

3

383

23 апр 2016, 22:50

Рекуррентное соотношение

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

JustForStudy

5

422

22 ноя 2015, 11:40

Проверить соотношение

в форуме Интегральное исчисление

Valentin0s

3

379

20 фев 2018, 17:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved