Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 02:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 19:08
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день. Помогите, пожалуйста, с задачкой:

Пусть случайная величина [math]X[/math] такова, что[math]\lim_n \frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)}< \frac 1 2[/math]. Доказать, что тогда [math]E|X| < \infty[/math].

Я думаю тут надо какой-то признак сходимости применить, только какой не знаю
[math]E|X|=2\int_0^{+\infty}x d(P(x))[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 11:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Утверждение верно даже для верхнего предела. Конечность матожидания следует из сходимости интеграла [math]\int\limits_1^{+\infty}P(\vert X \vert >x)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{2^n}^{2^{n+1}}P(\vert X \vert >x)dx\le \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{n+1}P(\vert X \vert >2^n)[/math].
Узреть сходимость последнего ряда из условий задачи уже нетрудно, вот и сделайте это самостоятельно. :crazy:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
R_e_n
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 16:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 19:08
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
grigoriew-grisha писал(а):
Утверждение верно даже для верхнего предела. Конечность матожидания следует из сходимости интеграла [math]\int\limits_1^{+\infty}P(\vert X \vert >x)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{2^n}^{2^{n+1}}P(\vert X \vert >x)dx\le \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{n+1}P(\vert X \vert >2^n)[/math].
Узреть сходимость последнего ряда из условий задачи уже нетрудно, вот и сделайте это самостоятельно. :crazy:


Вот это как раз сделать и трудно:

Пусть начиная с номера m выполняется

[math]\frac{P(|X|>2^{m+1})}{P(|X|>2^m)}< \frac 1 2[/math]

Тогда

[math]2^{m+2}{P(|X|>2^{m+1})} < 2^{m+2} \frac 12 {P(|X|>2^m)}=2^{m+1}{P(|X|>2^m)}[/math]

[math]2^{m+3}{P(|X|>2^{m+2})} < 2^{m+3} \frac 12 {P(|X|>2^{m+1})} < 2^{m+1}{P(|X|>2^m)}[/math]

[math]2^{m+4}{P(|X|>2^{m+3})} < 2^{m+1}{P(|X|>2^m)}[/math]

Ну в общем так все слагаемые. И сумма будет бесконечной. Надо как то построже оценить

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 16:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если трудно вам, то это не значит, что трудно всем. Ловчее нужно действовать. :hh:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 16:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 19:08
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
grigoriew-grisha писал(а):
Если трудно вам, то это не значит, что трудно всем. Ловчее нужно действовать. :hh:)


Поэтому я тут :%) Причем не только тут, я уже успел задолбать людей вот тут http://dxdy.ru/post802593.html#p802593 :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 16:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, тамошние путаники - давно известны! :ROFL:
Ладно, выберем [math]q\in (0 ; \fracac{1}{2})[/math] так, что [math]P(\vert X \vert >2n)<qP(\vert X \vert >n)[/math] начиная с некоторого [math]n_0[/math] . Тогда [math]P(\vert X \vert >2^n)=P(\vert X \vert >2\cdot2^{n-1})<qP(\vert X \vert >2^{n-1})< \ldots < q^{m_n}P(\vert X \vert >2^{n-m_n})\le q^{m_n}[/math] , если [math]m_n[/math] выбирается так, что [math]2^{n-m_n}> n_0 \ge 2^{n-m_n-1}.[/math]
Тогда [math]m_n[/math] растет примерно как [math]n[/math], и ряд [math]\sum\limits _{n=1}^{\infty}(2q)^n[/math] сходится. Вот и все. :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
R_e_n
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что мат ожидание конечно
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 16:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 19:08
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мда, снимаю шляпу, Вам удалось :Bravo:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

2

247

03 сен 2017, 10:09

Явная конечно-разностная схема

в форуме Численные методы

rokanten13

1

337

02 июн 2019, 14:06

Конечно-разностная аппроксимация ОДУ второго порядка, краева

в форуме Численные методы

Ramzil

1

506

03 мар 2015, 14:02

Мат ожидание

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Stasya7

9

467

29 ноя 2015, 21:11

Дисперсия/Мат.ожидание

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Sushi Shark

2

366

24 ноя 2020, 17:17

Математическое ожидание

в форуме Теория вероятностей

Evgenii123456

4

266

26 окт 2021, 05:54

Математическое ожидание

в форуме Теория вероятностей

KvotheBloodless

12

651

18 янв 2018, 21:08

Математическое ожидание

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Arno

2

378

29 мар 2016, 23:10

Математическое ожидание

в форуме Теория вероятностей

mathf

1

202

07 апр 2020, 17:04

Математическое ожидание

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Julius Caesar

1

120

29 май 2022, 00:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved