Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Прохождение светом преломляющей поверхности
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2013, 08:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июн 2013, 09:42
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
\beta Столкнулся со следующей интересной задачкой.
Источник света находится в вакууме (т е показатель преломления =1) над плоской поверхностью
прозрачного вещества с показателем преломления n > 1. Найти плотность вероятности случайной величины β - угла преломления луча в прозрачной среде, если все направления лучей от источника в воздухе
равновероятны.

Можно сказать, что при переходе из вакуума в среду новых событий наблюдаться не будет (если не учитывать отражение). Давайте обозначим за угол i, угол падения, тогда можно записать:[math]f(i)* \Delta i=f( \beta )* \Delta \beta[/math]
А вот как решать дальше? Или не с этого нужно начинать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Прохождение светом преломляющей поверхности
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2013, 11:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По закону преломления [math]\sin\alpha=n\sin\beta[/math], где [math]\alpha[/math] - угол падения, [math]\alpha\in\left[0,\frac{\pi}2\right][/math]. По условию величина [math]\alpha[/math] распределена равномерно на отрезке [math]\left[0,\frac{\pi}2\right][/math], поэтому имеет на нём плотность [math]\frac2{\pi}[/math]. Из закона преломления получаем [math]\beta=\arcsin\left(\frac1n\sin\alpha\right)=g(\alpha),\ \beta\in\left[0,\arcsin\frac1n\right][/math]. Тогда [math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math] и

[math]f_{\beta}(x)=f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}=\frac{2n\cos x}{\pi\sqrt{1-n^2\sin^2x}},\ x\in\left[0,\arcsin\frac1n\right][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
illuminates
 Заголовок сообщения: Re: Прохождение светом преломляющей поверхности
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2013, 14:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде как по условию (...над плоской...) задача 3-х мерная и поэтому вероятность для углов разная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Прохождение светом преломляющей поверхности
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2013, 18:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июн 2013, 09:42
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[quote="Human"]

Спасибо за ответ, но у меня большое недопонимание вашего решения.
1) Что означает эта обратная функция[math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math]? Что означает x в ней? нас разве не [math]f_{\beta}(\beta)[/math] просят найти?

2) Далее не могу понять откуда выражение [math]f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}[/math]

Заранее, большое спасибо за разъяснение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Прохождение светом преломляющей поверхности
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2013, 19:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zer0 писал(а):
Вроде как по условию (...над плоской...) задача 3-х мерная и поэтому вероятность для углов разная.


То есть здесь будет [math]f_{\alpha}(x)=\sin x,\ 0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}2[/math]? Это если рассматривать равномерное распределение по телесным углам.

illuminates писал(а):

Спасибо за ответ, но у меня большое недопонимание вашего решения.
1) Что означает эта обратная функция[math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math]? Что означает x в ней? нас разве не [math]f_{\beta}(\beta)[/math] просят найти?

2) Далее не могу понять откуда выражение [math]f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}[/math]

Заранее, большое спасибо за разъяснение.


1. Просто обычная функция, заданная на [math]\mathbb{R}[/math]. Можете вместо икса везде писать бету, если хотите; от обозначения переменной суть не меняется.

2. Формула преобразования плотности случайных величин.

Перерешайте сами с учетом замечания zer0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вероятность прохождение теста

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

alex_715

3

249

20 янв 2021, 22:16

Вид поверхности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

marina5013

2

301

07 май 2017, 17:41

Аппроксимация поверхности

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Avgust

32

3280

20 фев 2015, 02:51

Деформация поверхности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

stEgor

0

371

08 апр 2021, 18:39

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

maksustoff

1

265

13 май 2016, 00:29

Построить поверхности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

CheckatiloMan

0

238

29 фев 2016, 20:42

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

UlyaU

4

541

19 май 2016, 06:58

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

maksustoff

0

218

22 май 2016, 16:18

Уравнение поверхности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Sparki3_

1

260

13 дек 2019, 04:41

Нормаль к поверхности

в форуме Дифференциальное исчисление

matik

2

167

16 янв 2020, 17:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved