Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Поиск функции вероятности от координат
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=25778
Страница 1 из 1

Автор:  KonstantinR [ 07 июл 2013, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Поиск функции вероятности от координат

Задано множество (выборка) точек трехмерного пространства, расположенных произвольно в кубике с ребром, равным единице, одна вершина кубика совпадает с началом координат, а противоположная имеет координаты (1,1,1), ребра кубика совпадают с осями.

В каждой из точек произошло испытание с успешным или неудачным исходом. В одной точке может быть более одного испытания, и они могут быть с разными исходами. Известно, что вероятность успеха зависит только от координат точки, в которой происходит испытание, притом, эта зависимость непрерывная и гладкая по всему кубику.

Необходимо определить функцию вероятности успеха от координат на основании заданной выборки.

Для определения используется метод максимального правдоподобия: отыскивается максимум функционала
Вложение:
F.PNG
F.PNG [ 7.95 Кб | Просмотров: 405 ]


Поиск максимума функционала ведется с помощью метода локальных вариаций.

Проблема в том, что вид функции вероятностей успеха заранее не известен, то есть поиск ведется не на каком-то конкретном классе функций, а на всех непрерывных гладких функциях, определенных на вышеупомянутом кубике и с областью значений [0,1].

Ясно, что если не накладывать дополнительных ограничений на функцию вероятности, то процесс поиска в итоге сведется к такой функции, которая будет равна единице во всех "успешных" точках, и нулю во всех "неудачных".

Промежуточный результат оценки в разрезе (с двумя фиксированными координатами):
Вложение:
estimation.png
estimation.png [ 54.53 Кб | Просмотров: 24 ]


Но из исследуемой предметной области априори известно, что на таком сечении функция вероятности может иметь не более двух внутренних локальных экстремумов (нулей первой производной) и не более двух перегибов (нулей второй производной), а полученные "американские горки" - результат маленькой выборки.

ВОПРОС: как сформулировать дополнительные ограничения на функцию вероятности для метода локальных вариаций, чтобы он сводил поиск к "правильным" оценкам?

Есть задумка добавить в функционал еще один множитель, который бы определял "вменяемость" оценки таким образом, чтобы чем сильнее функцию "колбасит", тем он был ниже, и снижал общее значение функционала, отводя все эти "высокочастотные" функции подальше от экстремумов. Но я не могу придумать, как определить эту "вменяемость" математическим языком.

Автор:  Prokop [ 07 июл 2013, 09:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поиск функции вероятности от координат

Не являясь специалистом в этой области, рискну предложить "усреднение, группировка и т.п.". Именно, разобьём куб на маленькие кубики и вычислим вероятность успеха в этой области, поделив число успехов на общее число точек, попавших в эту область. Полученную вероятность отнесём к центру малого куба.
Тем самым мы сократим число точек. Дальше то, что Вы делали или аппроксимация полиномом.
Ясно, что размеры малых кубов, зависят от объёма экспериментальных данных и самих данных.
Возможно, надо разбивать не на кубы, а на прямоугольные параллелепипеды, ориентируясь на плотность распределения (расположения) экспериментальных точек, т.е. стремясь к примерно одинаковому числу точек в каждом параллелепипеде.

Автор:  KonstantinR [ 07 июл 2013, 09:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поиск функции вероятности от координат

Забыл упомянуть, общее количество точек-испытаний 151806, а их плотность по всему кубу более-менее постоянна, так что можно на обычные кубы разбивать.

Метод, который вы предложили, я использовал, чтобы получить первое приближение, с которого начал метод локальных вариаций.

Автор:  Prokop [ 07 июл 2013, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поиск функции вероятности от координат

Тогда Вы, видимо, меняли размеры кубиков (удваивали длины рёбер) и следили как меняются вероятности.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/