Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Посчитать интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=25763
Страница 1 из 1

Автор:  Santik [ 05 июл 2013, 00:09 ]
Заголовок сообщения:  Посчитать интеграл

Не знаю, как аналитически посчитать
[math]\frac{ 1 }{ L } \int\limits_{0}^{L} (min( \xi 1, \xi 2))dX[/math], где [math]\xi 1, \xi 2[/math] равномерно распределенные числа от 0 до 1. Численно получается значение 1/3

Автор:  Santik [ 05 июл 2013, 00:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать интеграл

Или же можно записать вот так [math]\frac{ 1 }{ N }\sum\limits_{i = 0}^{N}min( \xi 1(i), \xi 2(i))[/math] [math], N \to \infty[/math]

Автор:  Prokop [ 06 июл 2013, 22:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать интеграл

Я понял то, что Вам надо найти среднее (математическое ожидание) случайной величины
[math]\eta = \min \left\{{\xi _1 ,\xi _2}\right\}[/math]
где [math]\xi _1[/math] ,[math]\xi _2[/math] независимые равномерно распределённые на промежутке [math]\left[{0,1}\right][/math] случайные величины.
Функция распределения [math]\eta[/math] при [math]x \in \left[{0,1}\right][/math]
[math]F_\eta \left( x \right) = P\left({\eta < x}\right) = 1 - P\left({\xi _1 > x,\xi _2 > x}\right) = 1 - \left({1 - x}\right)^2[/math]
Поэтому плотность равна
[math]f_\eta \left( x \right) = 2\left({1 - x}\right)[/math]
Следовательно, среднее значение равно
[math]M\left[ \eta \right] = \int\limits_0^1{x2\left({1 - x}\right)dx}= \left.{\left({x^2 - \frac{2}{3}x^3}\right)}\right|_0^1 = \frac{1}{3}[/math]

Автор:  Santik [ 07 июл 2013, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать интеграл

Спасибо, я уже немного разобрался. Но вот что делать если [math]\xi 1[/math] распределено в интервале [a,b] а [math]\xi 2[/math] в интервале [c,d]?

Автор:  Prokop [ 08 июл 2013, 08:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать интеграл

Как и раньше.
Там три случая:
1) [math]b \leqslant c[/math]
2) [math]a \leqslant c \leqslant b \leqslant d[/math]
3) [math]a \leqslant c \leqslant d \leqslant b[/math]
Сохраняя старые обозначения, в первом случае имеем, очевидно,
[math]M\left[ \eta \right] = M\left[{\xi _1}\right][/math]
Во втором случае, используя независимость случайных величин, получим
[math]P\left\{{\eta < x}\right\}= 1 - P\left\{{\eta > x}\right\}= 1 - P\left\{{\xi _1 > x}\right\}\cdot P\left\{{\xi _2 > x}\right\}[/math]
Поэтому
[math]P\left\{{\eta < x}\right\}= \left\{{\begin{array}{*{20}c}{0,\quad x < a,}\\{\frac{{x - a}}{{b - a}},\;a < x < c,}\\{1 - \frac{{b - x}}{{b - a}}\cdot \frac{{d - x}}{{d - c}},\;c < x < b,}\\{1,\quad b < x.}\\ \end{array}}\right.[/math]
Отсюда находим плотность
[math]p_\eta \left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{0,\quad x < a,}\\{\frac{1}{{b - a}},\;a < x < c,}\\{\frac{{b + d - 2x}}{{\left({b - a}\right)\left({d - c}\right)}},\;c < x < b,}\\{0,\quad b < x}\\ \end{array}}\right.[/math]
Поэтому
[math]M\left[ \eta \right] = \int\limits_{- \infty}^\infty{x \cdot p_\eta \left( x \right)dx}= \frac{{c^3 + 3db^2 + 3a^2 c - 3da^2 - b^3 - 3bc^2}}{{6\left({b - a}\right)\left({d - c}\right)}}[/math]
Третий случай разбирается аналогично.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/