Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачи по теории вероятности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=25523
Страница 2 из 3

Автор:  Analitik [ 22 сен 2013, 06:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Talanov писал(а):
Analitik писал(а):
А мне здравый смысл подсказывает, что для среднего числа промахов формула будет такая же, только надо заменить [math]p_i[/math] на [math]1-p_i[/math]

Среднее число попаданий [math]\sum\limits_{6}^{i=0} ip(i)[/math],среднее число промахов [math]\sum\limits_{6}^{i=0} (6-i)p(i) = 6\sum\limits_{6}^{i=0} p(i)-\sum\limits_{6}^{i=0} ip(i)=6-\sum\limits_{6}^{i=0} ip(i)[/math]



Talanov

Да, Вы правы. Моя ошибка.

Автор:  ALEXIN [ 22 сен 2013, 13:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Родители, студенты и школьники!
Прошу, тех, кто понимает, полностью решить задачу — от начала до конца, со ссылками на формулы и законы:
3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелку последовательно выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Случайная величина Х – число патронов, выданное стрелку до первого промаха.
Пояснение: самому опровергать — вздор любителей уже надоело. Большие потери времени. Вчера (21.09.13г.), перед решением, обратил внимание на число просмотров в теме — 312. Ничего умного и полезного среди «советов» не увидел. Поэтому посчитал, что очень интересные задачи и стал решать. После решений, как обычно, любители стали таскать « воду в тему», по-другому, они не умеют поступать.

Автор:  Human [ 22 сен 2013, 14:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

ALEXIN писал(а):
Прошу, тех, кто понимает, полностью решить задачу — от начала до конца, со ссылками на формулы и законы:

Ссылку в этой теме уже дали: Геометрическое распределение. У Talanovа ответ верный.

[math]P(X=n)=p^{n-1}q[/math], где [math]p=0,4,\ q=1-p=0,6[/math] ([math]n-1[/math] попадание и последний промах)

[math]MX=\sum_{n=1}^{\infty}np^{n-1}q=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{n=i}^{\infty}p^{n-1}q=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{p^{i-1}q}{1-p}=\sum_{i=1}^{\infty}p^{i-1}=\frac1{1-p}=\frac53[/math]

Автор:  Talanov [ 22 сен 2013, 14:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

ALEXIN писал(а):
После решений, как обычно, любители стали таскать « воду в тему», по-другому, они не умеют поступать.

Судя по вашему заявлению вы не только не понимаете условий задач какие решаете, но и правильных решений, которые уже были представлены.

Автор:  ALEXIN [ 22 сен 2013, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Human!
Прошу Вас полностью решить, от начала до конца с пояснениями. Нужен хороший аналог, как образец.
3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелку последовательно выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Случайная величина Х – число патронов, выданное стрелку до первого промаха.
а) составить закон распределения случайной величины Х,
б) найти среднее ожидаемое число патронов, которые могут быть выданы стрелку.

Автор:  Human [ 22 сен 2013, 15:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

ALEXIN писал(а):
Human!
Прошу Вас полностью решить, от начала до конца с пояснениями. Нужен хороший аналог, как образец.
3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелку последовательно выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Случайная величина Х – число патронов, выданное стрелку до первого промаха.
а) составить закон распределения случайной величины Х,
б) найти среднее ожидаемое число патронов, которые могут быть выданы стрелку.


Ок, раз уж просите.

Величина [math]X[/math], очевидно, дискретная, поскольку принимает только натуральные значения (причём любые натуральные, ибо нет 100-процентной гарантии, что стрелок, даже попав в цель 1000 раз подряд, обязательно промахнётся в 1001-ый), поэтому её закон распределения можно задать с помощью вероятности того, что величина [math]X[/math] принимает какое-то определённое значение. Что означает, что [math]X=n[/math]? Это значит, что стрелку выдали ровно [math]n[/math] патронов, что возможно только в том случае, когда стрелок попал первыми [math](n-1)[/math] патронами и промахнулся [math]n[/math]-ым. Вероятность этого события можно найти по правилу произведения вероятностей (поскольку все выстрелы делаются независимо друг от друга), и она будет равна [math]p^{n-1}q[/math], где [math]p=0,4[/math] - вероятность попадания при одном выстреле и [math]q=1-p=0,6[/math] - вероятность промаха. Значит закон распределения имеет вид

[math]P(X=n)=p^{n-1}q,\ n\in\mathbb{N}[/math].

Матожидание, по определению, есть сумма

[math]MX=\sum_{n=1}^{\infty}nP(X=n)=\sum_{n=1}^{\infty}np^{n-1}q[/math]

Чтобы её вычислить, запишем её слагаемые в виде бесконечной треугольной таблицы:

[math]\begin{matrix} q & & & \\ pq & pq & & \\ p^2q & p^2q & p^2q & \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix}[/math]

В указанной выше сумме сначала суммируются все слагаемые в каждой строке, а затем суммируются результаты. Но можно искать сумму и по-другому: просуммировать геометрические прогрессии в каждом столбце, а затем суммировать результаты. Так и сделаем:

[math]\sum_{n=1}^{\infty}np^{n-1}q=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{i=n}^{\infty}p^{i-1}q=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{p^{n-1}q}{1-p}=\sum_{n=1}^{\infty}p^{n-1}=\frac1{1-p}=\frac53\approx2[/math]

Таким образом в среднем стрелку будет выдано 2 патрона.

Такое решение, думаю, даже школьнику будет понятно.

Автор:  Talanov [ 22 сен 2013, 15:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Human писал(а):
Ссылку в этой теме уже дали: Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение бывает двух типов. В нашем случае следует применять распределение Фарри.

Автор:  Talanov [ 22 сен 2013, 15:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Human писал(а):
Такое решение, думаю, даже школьнику будет понятно.

ALEXIN не школьник!

Автор:  Human [ 22 сен 2013, 15:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Talanov писал(а):
ALEXIN не школьник!


Так я не это имел в виду :)
Я так понял, что ALEXINу нужно очень подробное решение, чтобы его могли понять и школьники.

Автор:  Talanov [ 22 сен 2013, 15:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по теории вероятности

Human писал(а):
Я так понял, что ALEXINу нужно очень подробное решение, чтобы его могли понять и школьники.

Я так понял, что решение школьники давно уже поняли.

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/