Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вероятность события при пересечении ФПВ
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=24863
Страница 1 из 1

Автор:  STAR_IK [ 29 май 2013, 11:16 ]
Заголовок сообщения:  Вероятность события при пересечении ФПВ

Доброго времени суток. Возникла задача по теории вероятности, которую уже достаточно подзабыл. В общем, есть две случайных независимых величины [math]x1 \in f[/math] с функцией плотности вероятности [math]P1(f)[/math] и [math]x2 \in f[/math] с ФПВ [math]P2(f)[/math]. Плотности вероятности пересекаются друг с другом, согласно рисунку. Вопрос следующий, как определить вероятность события при котором [math]\left| {x1 - x2} \right| \leqslant dF[/math], где [math]dF < f3 - f2[/math].

Вложения:
.JPG
.JPG [ 8.39 Кб | Просмотров: 857 ]

Автор:  Prokop [ 29 май 2013, 16:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Непривычные обозначения. Немного уточню.
[math]\operatorname{X}_1[/math] и [math]\operatorname{X}_2[/math] - независимые случайные величины, имеющие плотности распределения [math]p_1 \left({x_1}\right)[/math] и [math]p_2 \left({x_2}\right)[/math] соответственно.
Тогда
[math]\begin{gathered}P\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_2}\right| \leqslant dF}\right\}= \iint\limits_{\left|{x_1 - x_2}\right| \leqslant dF}{p_1 \left({x_1}\right)p_2 \left({x_2}\right)dx_1 dx_2}= \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)dx_1}\int\limits_{x_1 - dF}^{x_1 + dF}{p_2 \left({x_2}\right)dx_2}= \hfill \\ = \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)\left({P_2 \left({x_1 + dF}\right) - P_2 \left({x_1 - dF}\right)}\right)dx_1}\hfill \\ \end{gathered}[/math]
где [math]P_2 \left( t \right)[/math] – функция распределения случайной величины [math]\operatorname{X}_2[/math]

Автор:  STAR_IK [ 30 май 2013, 07:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Большое спасибо. Теперь попробую все это осознать.

Автор:  STAR_IK [ 03 июн 2013, 10:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Заранее извиняюсь за непривычные обозначения. Решил поставить в качестве ФПВ прямоугольную функцию вида:
[math]p(x_1 ) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{W},\,\,\,\,\,X_1 \in \,\,\left( {f_1 ,\,\,f_3 } \right) \hfill \\ 0,\,\,\,\,\,X_1 \notin \,\,\,\left( {f_1 ,\,\,f_3 } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,[/math]
За [math]W[/math] я обозначил ширину прямоугольной ФПВ, т. е. [math]W = \left| {f_1 - f_3 } \right| = \left| {f_4 - f_2 } \right|[/math]. Далее получил из [math]p(x_2 )[/math] функцию распределения:
[math]P_2 (x_2 ) = \left\{ \begin{gathered} 0,\,\,\,\,\,X_2 < f_2 \, \hfill \\ \frac{{x_2 - f_2}} {{W}},\,\,\,\,\,X_2 \in \,\,\left( {f_2 ,\,\,f_4 } \right) \hfill \\ 1,\,\,\,\,\,X_2 > f_4 \, \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,[/math]

Подставляю в выражение из второго поста, изменив предел интегрирования на область определения [math]p(x_1 )[/math]:
[math]P\{ \left| {X_1 - X_2 } \right| \leqslant dF\} = \int\limits_{f_1 }^{f_3 } {\frac{1}{W}} \left( {\frac{{x{}_2 - f_2 + dF}}{W} - \frac{{x{}_2 - f_2 - dF}}{W}} \right)df = \int\limits_{f_1 }^{f_3 } {\frac{{2dF}}{{W^2 }}} \,df = \frac{{2dF}}{{W^2 }}f_3 - \frac{{2dF}}{{W^2 }}f_1 = \frac{{2dF}}{W}[/math]
Получив при этом ответ, который не зависит от величины наложения двух ФПВ, чего не может быть. Где я допустил ошибку?

Автор:  STAR_IK [ 22 июл 2013, 14:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Добрый день. Со всем вышеописанным разобрался. Дальше нужно проделать тоже самое для 3-х равноудаленных плотностей вероятности. Поначалу подумал, что уместно применить простое сложение [math]P\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_2}\right| \leqslant dF\ ||\ \left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_3}\right| \leqslant dF }\right\}=P_{1}+P_{2}-P_{1}\times P_{2}[/math], где [math]P_{1}=P_{1}\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_2}\right| \leqslant dF}\right\}[/math], а [math]P_{2}=P_{2}\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_3}\right| \leqslant dF}\right\}[/math]. Но потом понял, что вероятности [math]P_{1}[/math] и [math]P_{2}[/math] зависимы. Теперь не могу понять как дальше решать. Вычислять тройной интеграл?

Автор:  Prokop [ 22 июл 2013, 20:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Вероятность какого события Вы хотите вычислить?

Автор:  STAR_IK [ 22 июл 2013, 21:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Вероятность того, что хотя бы одна из случайных величин: [math]\operatorname{X}_2[/math] или [math]\operatorname{X}_3[/math] приблизится к [math]\operatorname{X}_1[/math] менее чем на [math]dF[/math], т.е. выполнится хотя бы одно из условий: [math]{\left|{\operatorname{X}_1%20-%20\operatorname{X}_2}\right|\right|%20\leqslant%20dF\%20}[/math] или [math]{\left|{\operatorname{X}_1%20-%20\operatorname{X}_3}\right|\right|%20\leqslant%20dF\%20}[/math]

Автор:  Prokop [ 23 июл 2013, 12:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Вы всё правильно делаете. На последнем этапе можно воспользоваться формулой полной вероятности (в интегральной форме)
Подробнее. Используем обозначения для событий [math]A = \left\{{\left|{X_2 - X_1}\right| < dF}\right\}[/math], [math]B = \left\{{\left|{X_3 - X_1}\right| < dF}\right\}[/math]
Тогда
[math]P\left({A + B}\right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left({A \cdot B}\right) = \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)\left({P\left({\left|{X_2 - x_1}\right| < dF}\right) + P\left({\left|{X_3 - x_1}\right| < dF}\right) - P\left({\left|{X_2 - x_1}\right| < dF}\right)P\left({\left|{X_3 - x_1}\right| < dF}\right)}\right)dx_1}[/math]
или
[math]P\left({A + B}\right) = 1 - P\left({\overline A \cdot \overline B}\right) = 1 - \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)P\left({\left|{X_2 - x_1}\right| > dF}\right)P\left({\left|{X_3 - x_1}\right| > dF}\right)dx_1}[/math]

Автор:  STAR_IK [ 25 июл 2013, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность события при пересечении ФПВ

Действительно все сошлось. Огромное Вам спасибо.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/