Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| STAR_IK |
|
||
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| Prokop |
|
|
|
Непривычные обозначения. Немного уточню.
[math]\operatorname{X}_1[/math] и [math]\operatorname{X}_2[/math] - независимые случайные величины, имеющие плотности распределения [math]p_1 \left({x_1}\right)[/math] и [math]p_2 \left({x_2}\right)[/math] соответственно. Тогда [math]\begin{gathered}P\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_2}\right| \leqslant dF}\right\}= \iint\limits_{\left|{x_1 - x_2}\right| \leqslant dF}{p_1 \left({x_1}\right)p_2 \left({x_2}\right)dx_1 dx_2}= \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)dx_1}\int\limits_{x_1 - dF}^{x_1 + dF}{p_2 \left({x_2}\right)dx_2}= \hfill \\ = \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)\left({P_2 \left({x_1 + dF}\right) - P_2 \left({x_1 - dF}\right)}\right)dx_1}\hfill \\ \end{gathered}[/math] где [math]P_2 \left( t \right)[/math] – функция распределения случайной величины [math]\operatorname{X}_2[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: STAR_IK |
||
| STAR_IK |
|
|
|
Большое спасибо. Теперь попробую все это осознать.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| STAR_IK |
|
|
|
Заранее извиняюсь за непривычные обозначения. Решил поставить в качестве ФПВ прямоугольную функцию вида:
[math]p(x_1 ) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{W},\,\,\,\,\,X_1 \in \,\,\left( {f_1 ,\,\,f_3 } \right) \hfill \\ 0,\,\,\,\,\,X_1 \notin \,\,\,\left( {f_1 ,\,\,f_3 } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,[/math] За [math]W[/math] я обозначил ширину прямоугольной ФПВ, т. е. [math]W = \left| {f_1 - f_3 } \right| = \left| {f_4 - f_2 } \right|[/math]. Далее получил из [math]p(x_2 )[/math] функцию распределения: [math]P_2 (x_2 ) = \left\{ \begin{gathered} 0,\,\,\,\,\,X_2 < f_2 \, \hfill \\ \frac{{x_2 - f_2}} {{W}},\,\,\,\,\,X_2 \in \,\,\left( {f_2 ,\,\,f_4 } \right) \hfill \\ 1,\,\,\,\,\,X_2 > f_4 \, \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,[/math] Подставляю в выражение из второго поста, изменив предел интегрирования на область определения [math]p(x_1 )[/math]: [math]P\{ \left| {X_1 - X_2 } \right| \leqslant dF\} = \int\limits_{f_1 }^{f_3 } {\frac{1}{W}} \left( {\frac{{x{}_2 - f_2 + dF}}{W} - \frac{{x{}_2 - f_2 - dF}}{W}} \right)df = \int\limits_{f_1 }^{f_3 } {\frac{{2dF}}{{W^2 }}} \,df = \frac{{2dF}}{{W^2 }}f_3 - \frac{{2dF}}{{W^2 }}f_1 = \frac{{2dF}}{W}[/math] Получив при этом ответ, который не зависит от величины наложения двух ФПВ, чего не может быть. Где я допустил ошибку? |
||
| Вернуться к началу | ||
| STAR_IK |
|
|
|
Добрый день. Со всем вышеописанным разобрался. Дальше нужно проделать тоже самое для 3-х равноудаленных плотностей вероятности. Поначалу подумал, что уместно применить простое сложение [math]P\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_2}\right| \leqslant dF\ ||\ \left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_3}\right| \leqslant dF }\right\}=P_{1}+P_{2}-P_{1}\times P_{2}[/math], где [math]P_{1}=P_{1}\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_2}\right| \leqslant dF}\right\}[/math], а [math]P_{2}=P_{2}\left\{{\left|{\operatorname{X}_1 - \operatorname{X}_3}\right| \leqslant dF}\right\}[/math]. Но потом понял, что вероятности [math]P_{1}[/math] и [math]P_{2}[/math] зависимы. Теперь не могу понять как дальше решать. Вычислять тройной интеграл?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Вероятность какого события Вы хотите вычислить?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| STAR_IK |
|
|
|
Вероятность того, что хотя бы одна из случайных величин: [math]\operatorname{X}_2[/math] или [math]\operatorname{X}_3[/math] приблизится к [math]\operatorname{X}_1[/math] менее чем на [math]dF[/math], т.е. выполнится хотя бы одно из условий: [math]{\left|{\operatorname{X}_1%20-%20\operatorname{X}_2}\right|\right|%20\leqslant%20dF\%20}[/math] или [math]{\left|{\operatorname{X}_1%20-%20\operatorname{X}_3}\right|\right|%20\leqslant%20dF\%20}[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Вы всё правильно делаете. На последнем этапе можно воспользоваться формулой полной вероятности (в интегральной форме)
Подробнее. Используем обозначения для событий [math]A = \left\{{\left|{X_2 - X_1}\right| < dF}\right\}[/math], [math]B = \left\{{\left|{X_3 - X_1}\right| < dF}\right\}[/math] Тогда [math]P\left({A + B}\right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left({A \cdot B}\right) = \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)\left({P\left({\left|{X_2 - x_1}\right| < dF}\right) + P\left({\left|{X_3 - x_1}\right| < dF}\right) - P\left({\left|{X_2 - x_1}\right| < dF}\right)P\left({\left|{X_3 - x_1}\right| < dF}\right)}\right)dx_1}[/math] или [math]P\left({A + B}\right) = 1 - P\left({\overline A \cdot \overline B}\right) = 1 - \int\limits_{- \infty}^\infty{p_1 \left({x_1}\right)P\left({\left|{X_2 - x_1}\right| > dF}\right)P\left({\left|{X_3 - x_1}\right| > dF}\right)dx_1}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: STAR_IK |
||
| STAR_IK |
|
|
|
Действительно все сошлось. Огромное Вам спасибо.
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Вероятность события
в форуме Теория вероятностей |
1 |
334 |
11 дек 2018, 20:10 |
|
|
Вероятность события
в форуме Теория вероятностей |
1 |
836 |
02 ноя 2015, 10:03 |
|
|
Вероятность события
в форуме Теория вероятностей |
1 |
418 |
23 окт 2016, 22:22 |
|
| Вероятность события | 0 |
439 |
28 дек 2014, 16:50 |
|
|
Вероятность события
в форуме Теория вероятностей |
2 |
745 |
19 фев 2017, 15:06 |
|
|
Вероятность события P=(B/-A)
в форуме Теория вероятностей |
8 |
465 |
01 июн 2020, 10:31 |
|
|
СКО СВ и вероятность события
в форуме Теория вероятностей |
0 |
316 |
18 ноя 2017, 00:41 |
|
|
Вероятность события
в форуме Интегральное исчисление |
10 |
1100 |
04 мар 2016, 08:54 |
|
|
Вероятность события
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
477 |
01 мар 2016, 18:56 |
|
|
Вероятность события
в форуме Теория вероятностей |
4 |
370 |
09 янв 2018, 21:18 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |