Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти математическое ожидание длины проекции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=23990
Страница 1 из 1

Автор:  ekruten [ 06 май 2013, 13:51 ]
Заголовок сообщения:  Найти математическое ожидание длины проекции

На плоскости дан прямоугольный треугольник с катетами a и b.
Найти математическое ожидание длины ортогональной проекции этого треугольника на прямую,
составляющую угол [math]\alpha[/math] с осью абсцисс, если угол [math]\alpha[/math] равномерно распределен в промежутке [math][0, \pi)[/math].

Если я прав, длина проекции равна [math]max(a \cdot sin\alpha, b \cdot cos\alpha)[/math]

Плотность распределения угла [math]\alpha[/math]:
[math]p_{\alpha}(x) = \left\{\!\begin{aligned}& \frac{1}{\pi}, \; \alpha \in [0, \pi) \\& 0, \; \alpha \notin [0, \pi)\end{aligned}\right.[/math]

Дальше ступор

Автор:  Human [ 07 май 2013, 00:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти математическое ожидание длины проекции

ekruten писал(а):
Если я прав, длина проекции равна [math]max(a \cdot sin\alpha, b \cdot cos\alpha)[/math]


Вы точно неправы: если прямая параллельна гипотенузе, то длина проекции будет равна гипотенузе, что по Вашей формуле никогда не выходит.

Я расположил треугольник так, что он лежит в первой четверти, вершина лежит в начале координат, катет [math]a[/math] лежит на оси [math]Ox[/math], а катет [math]b[/math] на оси [math]Oy[/math]. Получилось так:

[math]L(\alpha)=\left\{\begin{aligned}a\cos\alpha\quad\quad,&\quad\quad\ \ \ \,0\leqslant\alpha<\operatorname{arctg}\frac a b\\b\sin\alpha\quad\quad,&\ \operatorname{arctg}\frac a b\leqslant\alpha<\frac{\pi}2\\b\sin\alpha-a\cos\alpha,&\quad\quad\ \ \,\frac{\pi}2\leqslant\alpha<\pi\end{aligned}\right.[/math]

Тогда

[math]M[L]=\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi}L(\alpha)\,d\alpha=\frac{a+b+c}{\pi}[/math], где [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math] - гипотенуза.

Интеграл сами посчитайте.

Автор:  ekruten [ 07 май 2013, 09:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти математическое ожидание длины проекции

Спасибо, что ответили!

Да, я точно ошибся, я вообще от 0 до [math]\frac{\pi}{2}[/math] смотрел почему-то...

С функцией [math]L(\alpha)[/math] в общем согласен, только в последнем случае наверно знак "+":
[math]\left\{\!\begin{aligned}& acos\alpha, \;\;0 \leqslant \alpha < arctg\frac{a}{b}\\ & bsin\alpha, \;\;arctg\frac{a}{b} \leqslant \alpha < \frac{\pi}{2}\\ & bsin\alpha + a cos\alpha, \;\; \frac{\pi}{2} \leqslant \alpha < \pi \end{aligned}\right.[/math]

А откуда равенство с [math]\frac{a+b+c}{\pi}[/math] не понял, если честно

Автор:  Human [ 07 май 2013, 14:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти математическое ожидание длины проекции

ekruten писал(а):
С функцией [math]L(\alpha)[/math] в общем согласен, только в последнем случае наверно знак "+":


Нет, там точно минус, поскольку [math]\cos\alpha[/math] отрицателен.

ekruten писал(а):
А откуда равенство с [math]\frac{a+b+c}{\pi}[/math] не понял, если честно


Что именно непонятно? Почему матожидание равно указанному интегралу или как был взят интеграл?

Автор:  ekruten [ 09 май 2013, 07:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти математическое ожидание длины проекции

Просто не так понял. Посчитал, все ОК :)
Спасибо большое

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/