| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти математическое ожидание длины проекции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=23990 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | ekruten [ 06 май 2013, 13:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти математическое ожидание длины проекции |
На плоскости дан прямоугольный треугольник с катетами a и b. Найти математическое ожидание длины ортогональной проекции этого треугольника на прямую, составляющую угол [math]\alpha[/math] с осью абсцисс, если угол [math]\alpha[/math] равномерно распределен в промежутке [math][0, \pi)[/math]. Если я прав, длина проекции равна [math]max(a \cdot sin\alpha, b \cdot cos\alpha)[/math] Плотность распределения угла [math]\alpha[/math]: [math]p_{\alpha}(x) = \left\{\!\begin{aligned}& \frac{1}{\pi}, \; \alpha \in [0, \pi) \\& 0, \; \alpha \notin [0, \pi)\end{aligned}\right.[/math] Дальше ступор |
|
| Автор: | Human [ 07 май 2013, 00:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти математическое ожидание длины проекции |
ekruten писал(а): Если я прав, длина проекции равна [math]max(a \cdot sin\alpha, b \cdot cos\alpha)[/math] Вы точно неправы: если прямая параллельна гипотенузе, то длина проекции будет равна гипотенузе, что по Вашей формуле никогда не выходит. Я расположил треугольник так, что он лежит в первой четверти, вершина лежит в начале координат, катет [math]a[/math] лежит на оси [math]Ox[/math], а катет [math]b[/math] на оси [math]Oy[/math]. Получилось так: [math]L(\alpha)=\left\{\begin{aligned}a\cos\alpha\quad\quad,&\quad\quad\ \ \ \,0\leqslant\alpha<\operatorname{arctg}\frac a b\\b\sin\alpha\quad\quad,&\ \operatorname{arctg}\frac a b\leqslant\alpha<\frac{\pi}2\\b\sin\alpha-a\cos\alpha,&\quad\quad\ \ \,\frac{\pi}2\leqslant\alpha<\pi\end{aligned}\right.[/math] Тогда [math]M[L]=\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi}L(\alpha)\,d\alpha=\frac{a+b+c}{\pi}[/math], где [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math] - гипотенуза. Интеграл сами посчитайте. |
|
| Автор: | ekruten [ 07 май 2013, 09:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти математическое ожидание длины проекции |
Спасибо, что ответили! Да, я точно ошибся, я вообще от 0 до [math]\frac{\pi}{2}[/math] смотрел почему-то... С функцией [math]L(\alpha)[/math] в общем согласен, только в последнем случае наверно знак "+": [math]\left\{\!\begin{aligned}& acos\alpha, \;\;0 \leqslant \alpha < arctg\frac{a}{b}\\ & bsin\alpha, \;\;arctg\frac{a}{b} \leqslant \alpha < \frac{\pi}{2}\\ & bsin\alpha + a cos\alpha, \;\; \frac{\pi}{2} \leqslant \alpha < \pi \end{aligned}\right.[/math] А откуда равенство с [math]\frac{a+b+c}{\pi}[/math] не понял, если честно |
|
| Автор: | Human [ 07 май 2013, 14:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти математическое ожидание длины проекции |
ekruten писал(а): С функцией [math]L(\alpha)[/math] в общем согласен, только в последнем случае наверно знак "+": Нет, там точно минус, поскольку [math]\cos\alpha[/math] отрицателен. ekruten писал(а): А откуда равенство с [math]\frac{a+b+c}{\pi}[/math] не понял, если честно Что именно непонятно? Почему матожидание равно указанному интегралу или как был взят интеграл? |
|
| Автор: | ekruten [ 09 май 2013, 07:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти математическое ожидание длины проекции |
Просто не так понял. Посчитал, все ОК Спасибо большое |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|