| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=23987 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | ekruten [ 06 май 2013, 09:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
Случайная точка X равномерно распределена внутри треугольника с вершинами O(0,0), A(2,0), B(0,1). Случайная величина [math]\xi[/math] равна расстоянию от точки X до оси Oy. Найти плотность, мат. ожидание и дисперсию случайной величины [math]\xi[/math]. По-видимому, первоочередное в этой задаче найти именно плотность, но как это сделать - не знаю. Что смотреть? Совместное распределение? |
|
| Автор: | erjoma [ 06 май 2013, 10:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
Сначала нужно найти плотность распределения Х. |
|
| Автор: | ekruten [ 06 май 2013, 10:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
Ладно, предположение следующее: Случайная точка X([math]\eta, \xi[/math]). Найдем совместную плотность распределения: [math]p_{\eta, \xi}(x, y) = \left\{\!\begin{aligned}& 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, x + 2y \leqslant 2 \\& 0, else\end{aligned}\right.[/math]. Одномерная плотность: [math]p_{\xi}(y) = \int\limits_{-\infty }^{ \infty }p_{\eta, \xi}(x, y)dx = \left\{\!\begin{aligned}& 0,\;y>1 \quad or \quad y < 0 \\& \int\limits_{0}^{2-2y}dx, \; 0 < y <=1\end{aligned}\right.[/math]. Ну как, это правильный шаг? |
|
| Автор: | erjoma [ 06 май 2013, 10:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
По моему мнению, нет. Расcтояние до оси Оу задается координатой у? |
|
| Автор: | ekruten [ 06 май 2013, 11:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
Да, что-то рассеял внимание, спасибо, что сказали [math]p_{\xi, \eta}(x, y) = \left\{\!\begin{aligned}& 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, x + 2y \leqslant 2 \\& 0, else\end{aligned}\right.[/math]. Одномерная плотность: [math]p_{\xi}(x) = \int\limits_{-\infty }^{ \infty }p_{\xi, \eta}(x, y)dx = \left\{\!\begin{aligned}& 0,\;x < 0 \quad or \quad x > 2 \\& \int\limits_{0}^{1 - \frac{ x }{ 2 } }dy, \; 0 \leqslant x \leqslant 2\end{aligned}\right.[/math]. Как теперь? Только мат. ожидание получается 2 / 3 |
|
| Автор: | erjoma [ 06 май 2013, 11:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
Плотность распределения и мат ожидание Вы нашли верно, находите дисперсию. |
|
| Автор: | ekruten [ 06 май 2013, 12:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
[math]\mathbb{E}\xi = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{2}x^{2}\left(1- \frac{ x }{ 2 }\right)dx=\frac{2}{3}[/math] [math]\mathbb{D} \xi=\mathbb{E}\xi^{2} - (\mathbb{E}\xi)^{2} = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}[/math] Это верно? Я почему-то интуитивно предполагал, что мат. ожидание должно быть такой координатой икса [math]x_{0}[/math], что прямая [math]x=x_0[/math] поделит исходный треугольник на равные по площади. |
|
| Автор: | erjoma [ 06 май 2013, 14:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника |
ekruten писал(а): [math]\mathbb{E}\xi = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{2}x^{2}\left(1- \frac{ x }{ 2 }\right)dx=\frac{2}{3}[/math] [math]\mathbb{D} \xi=\mathbb{E}\xi^{2} - (\mathbb{E}\xi)^{2} = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}[/math] Это верно? Верно. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|