Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=23987
Страница 1 из 1

Автор:  ekruten [ 06 май 2013, 09:53 ]
Заголовок сообщения:  Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

Случайная точка X равномерно распределена внутри треугольника с вершинами O(0,0), A(2,0), B(0,1).
Случайная величина [math]\xi[/math] равна расстоянию от точки X до оси Oy.
Найти плотность, мат. ожидание и дисперсию случайной величины [math]\xi[/math].

По-видимому, первоочередное в этой задаче найти именно плотность, но как это сделать - не знаю.
Что смотреть? Совместное распределение?

Автор:  erjoma [ 06 май 2013, 10:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

Сначала нужно найти плотность распределения Х.

Автор:  ekruten [ 06 май 2013, 10:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

Ладно, предположение следующее:

Случайная точка X([math]\eta, \xi[/math]). Найдем совместную плотность распределения:

[math]p_{\eta, \xi}(x, y) = \left\{\!\begin{aligned}& 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, x + 2y \leqslant 2 \\& 0, else\end{aligned}\right.[/math].

Одномерная плотность:
[math]p_{\xi}(y) = \int\limits_{-\infty }^{ \infty }p_{\eta, \xi}(x, y)dx = \left\{\!\begin{aligned}& 0,\;y>1 \quad or \quad y < 0 \\& \int\limits_{0}^{2-2y}dx, \; 0 < y <=1\end{aligned}\right.[/math].

Ну как, это правильный шаг?

Автор:  erjoma [ 06 май 2013, 10:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

По моему мнению, нет.
Расcтояние до оси Оу задается координатой у?

Автор:  ekruten [ 06 май 2013, 11:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

Да, что-то рассеял внимание, спасибо, что сказали

[math]p_{\xi, \eta}(x, y) = \left\{\!\begin{aligned}& 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, x + 2y \leqslant 2 \\& 0, else\end{aligned}\right.[/math].

Одномерная плотность:
[math]p_{\xi}(x) = \int\limits_{-\infty }^{ \infty }p_{\xi, \eta}(x, y)dx = \left\{\!\begin{aligned}& 0,\;x < 0 \quad or \quad x > 2 \\& \int\limits_{0}^{1 - \frac{ x }{ 2 } }dy, \; 0 \leqslant x \leqslant 2\end{aligned}\right.[/math].

Как теперь?
Только мат. ожидание получается 2 / 3

Автор:  erjoma [ 06 май 2013, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

Плотность распределения и мат ожидание Вы нашли верно, находите дисперсию.

Автор:  ekruten [ 06 май 2013, 12:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

[math]\mathbb{E}\xi = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{2}x^{2}\left(1- \frac{ x }{ 2 }\right)dx=\frac{2}{3}[/math]
[math]\mathbb{D} \xi=\mathbb{E}\xi^{2} - (\mathbb{E}\xi)^{2} = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}[/math]

Это верно?
Я почему-то интуитивно предполагал, что мат. ожидание должно быть такой координатой икса [math]x_{0}[/math], что прямая [math]x=x_0[/math] поделит исходный треугольник на равные по площади.

Автор:  erjoma [ 06 май 2013, 14:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Случайная точка равномерно распределена внутри треугольника

ekruten писал(а):
[math]\mathbb{E}\xi = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}p_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{2}x^{2}\left(1- \frac{ x }{ 2 }\right)dx=\frac{2}{3}[/math]
[math]\mathbb{D} \xi=\mathbb{E}\xi^{2} - (\mathbb{E}\xi)^{2} = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}[/math]

Это верно?


Верно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/