Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Рекуррентные события, производящие функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=23569
Страница 1 из 1

Автор:  emily [ 19 апр 2013, 00:21 ]
Заголовок сообщения:  Рекуррентные события, производящие функции

Решаю задачу из Феллера, но пока что безрезультатно( Было бы здорово, если кто-то сможет направить мои мысли в нужное русло..
Изображение
Первую часть (со сходимостью) доказать получилось.
А вот при выведении равенства с производящими функциями возникли проблемы..
Что пробовала:
- Брала непосредственно равенство, переносила все в одну часть, пыталась доказать = 0. Изначально избавлялась от знаменателей, получается достаточно жуткая вещь и непонятно, как из нее выбираться
- Рассматривала только левую часть, переходила к F(s) от U(s), выражала все суммы функции через f[i] и s, тоже ни к чему не привело
- Перенесла все в одну часть, расписала все производящие функции по определению, дошла до похожего на предыдущий результата, который к нулю не сводился...
Что я делаю неправильно?

И второй вопрос состоит в том, как вообще могут быть связаны формулы 12.1 и 12.2? У меня есть только предположение, что рассматривается формула 12.1 при s=1, но все равно до конца не могу прийти после этого предположения к формуле 12.2.

Автор:  emily [ 21 апр 2013, 23:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

из первой формулы получилось вывести вторую, но по-прежнему остался вопрос относительно доказательства самой формулы..

Автор:  Prokop [ 22 апр 2013, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

Вроде всё получается, если определить последовательность [math]r_n[/math] немного иначе
[math]r_n = q_n + q_{n + 1}+ \ldots[/math]

Автор:  emily [ 22 апр 2013, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

Prokop не вижу существенных изменений от такого переопределения

попробовала еще просто в левой части умножить и поделить на mu*Q(s) и вроде даже похоже на правду получается в числителе, но все равно что-то не то(

Автор:  Prokop [ 22 апр 2013, 21:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

Перепишем левую часть, придём к доказательству равенства
[math]U\left( s \right) - \frac{1}{\mu}\frac{s}{{1 - s}}= \frac{{R\left( s \right)}}{{\mu Q\left( s \right)}}[/math]
Учтём равенство
[math]U\left( s \right) = \frac{1}{{1 - F\left( s \right)}}[/math]
и умножим обе части на [math]\mu Q\left( s \right)[/math]
Тогда надо доказать справедливость соотношения
[math]\frac{{\mu Q\left( s \right)}}{{1 - F\left( s \right)}}- \frac{s}{{1 - s}}Q\left( s \right) = R\left( s \right)[/math]
Отметим свойства функции [math]Q\left( s \right)[/math]
[math]Q\left( s \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty{q_n s^n}= \frac{{1 - F\left( s \right)}}{{1 - s}}[/math]
Тогда требуемое равенство примет вид
[math]\frac{\mu}{{1 - s}}- \frac{s}{{1 - s}}Q\left( s \right) = R\left( s \right)[/math]
Но это верно, при сделанной мною поправки, т.к.
[math]\begin{gathered}R\left( s \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty{r_n s^n}= \sum\limits_{n = 0}^\infty{s^n \sum\limits_{k = n}^\infty{q_k}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{q_k \sum\limits_{n = 0}^k{s^n}}= \frac{1}{{1 - s}}\sum\limits_{k = 0}^\infty{q_k \left({1 - s^{k + 1}}\right)}= \frac{1}{{1 - s}}\sum\limits_{k = 0}^\infty{q_k}- \frac{s}{{1 - s}}\sum\limits_{k = 0}^\infty{q_k s^k}= \hfill \\ = \frac{\mu}{{1 - s}}- \frac{s}{{1 - s}}Q\left( s \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  emily [ 23 апр 2013, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

Prokop,
Когда вы рассматриваете свойства функции Q(s).. у меня получается другой результат
[math]Q(s)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty }q_{n}s^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } s^{n}\sum\limits_{i=n}^{\infty }f_{i}=\sum\limits_{i=0}^{\infty} f_{i}\sum\limits_{n=0}^{i} s^{n} = \frac{ 1 }{ s-1 } \sum\limits_{i=0}^{\infty} f_{i}(s^{i+1}-1) = \frac{ sF(s)-1 }{ s-1 }[/math]

где-то приобретается лишняя s, и пока не вижу, где.
насчет остального понятно, спасибо. про небольшую поправку в условии буду уточнять у преподавателя

Автор:  Prokop [ 24 апр 2013, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

Формулу для [math]q_n[/math] я не менял.
[math]q_n=f_{n+1}+f_{n+2}+...[/math]

Автор:  emily [ 25 апр 2013, 09:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

теперь поняла. спасибо)

Автор:  emily [ 29 апр 2013, 11:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

И все-таки в дальнейших задачах возникают некоторые вопросы
Изображение

24 задача. Так как нам нужно использовать решение задачи 21, я попробовала привести к виду, похожему на то, что имеется в 21 задаче
У нас есть соотношение для испытаний Бернулли:
[math]F(s)= \frac{ p^{r}s^{r}(1-ps) }{ 1-s+qp^{r}s^{r+1} } = \frac{ p^{r}s^{r} }{ 1-qs(1+ps+...+p^{r-1}s^{r-1}) }[/math]
Тогда преобразовываем данное нам выражение:
[math]\frac{ 1-p^{r}s^{r} }{ 1-s+qp^{r}s^{r+1}-(1-ps)p^{r}s^{r}x }= \frac{ \frac{ 1-p^{r}s^{r} }{ 1-s+qp^{r}s^{r+1} } }{ 1-F(s)x }= \frac{ \frac{ 1-ps }{ 1-s+qp^{r}s^{r+1} }-F(s) }{ 1-F(s)x }[/math]
а вот дальше ничего хорошего не получается, и не понятно, куда двигаться дальше

Автор:  emily [ 05 май 2013, 10:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рекуррентные события, производящие функции

последний вопрос решен.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/