Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Процесс чистого размножения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=22258
Страница 1 из 1

Автор:  MoskvinAlex [ 24 фев 2013, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Процесс чистого размножения

Изображение

Изображение

Автор:  MoskvinAlex [ 15 апр 2013, 23:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

C этой задачей мучаюсь уже на протяжении месяца.

В указаниях к задаче написано использовать индукцию. И продифференцировать (3.4)

продифференцировав , получается доказать , что последовательность точек максимума t1... tn , для функций P1....Pn соответственно является возрастающей.

Тупик наступил при доказательстве того, что все функции Pn начиная с n=1 имеют вид сначала возрастающей, а потом убывающей к нулю.

Для p1, имеющего вид с1*exp(-lambda1*t)+c2*exp(-lambda2*t) я нашёл точку экстремума, это t1=ln(lambda1/lambda0)/(lambda1-lambda0)(тут тоже проблема, в случае если lambda1=lambda2, что это будет за величина?).... И получилась , что функция нужно вида. С p2 уже так просто не выходит. Понятно что все p1...pn представляются в виде суммы exp c коэффициентами. Но как доказать что у каждой из функций одна точка экстремума, и это точка максимума я не знаю...Подскажите, пожалуйста, что делать ?

Автор:  Prokop [ 17 апр 2013, 08:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

Почему бы не провести следующее рассуждение (не вдаваясь в подробности).
Рассмотрим данную систему с начальным условием:
[math]P_0 \left( 0 \right) = 1,\;P_1 \left( 0 \right) = 0, \ldots ,\;P_n \left( 0 \right) = 0, \ldots[/math]
Тогда
[math]P_0 \left( x \right) = e^{- \lambda _0 x}[/math]
[math]P_1 \left( x \right) = \lambda _0 \left({\frac{{e^{- \lambda _0 x}}}{{\lambda _1 - \lambda _0}}+ \frac{{e^{- \lambda _1 x}}}{{\lambda _0 - \lambda _1}}}\right)[/math]
Легко убедиться в том, что функция [math]P_1 \left( x \right)[/math] сначала возрастает, а потом убывает, т.е. точка экстремума единственна. Далее, предполагая аналогичное поведение у функций до [math]n-1[/math] номера, покажем, что таким же свойством обладает функция с номером [math]n[/math].
Предположим, что у функции [math]P_n \left( x \right)[/math] две точки локального максимума: [math]x_1[/math], [math]x_2[/math] и [math]x_1 < x_2[/math]. Тогда между ними найдётся точка локального минимума: [math]c[/math], [math]x_1 < c < x_2[/math]. Продифференцируем[math]n+1[/math] –ое уравнение
[math]P_n ^{\prime \prime}\left( x \right) = - \lambda _n P_n ^\prime \left( x \right) + \lambda _{n - 1}P_{n - 1}^\prime \left( x \right)[/math]
и подставим туда эти точки. Тогда получим, что в окрестностях точек [math]x_1[/math], [math]x_2[/math] производная функции [math]P_{n - 1}\left( x \right)[/math] не положительна, т.е. функция [math]P_{n - 1}\left( x \right)[/math] не возрастает. Однако в окрестности точки [math]c[/math] функция [math]P_{n - 1}\left( x \right)[/math] не убывает. Это противоречит предположению о единственности точки экстремума функции [math]P_{n - 1}\left( x \right)[/math]. Следовательно, функция [math]P_n \left( x \right)[/math] имеет единственную точку экстремума.

Автор:  MoskvinAlex [ 17 апр 2013, 10:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

Да, это действительно исчерпывает задачу.


У задачи ещё есть продолжение.
В данном случае, не знаю верна ли идея, но хочется рассмотреть разность функции Pn...или нужно сделать, что-то другое?
Изображение
Изображение

Автор:  Prokop [ 17 апр 2013, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

Следуя указанию к решению задачи, возьмём [math]t>\tau[/math]. При таком выборе все функции [math]P_k \left( t \right)[/math]убывают (их производные отрицательны).
Продифференцировав (4.10), получим
[math]- S_k ^\prime \left( t \right) = - \sum\limits_{n = 0}^k{P_n ^\prime \left( t \right)}= \lambda _k P_k \left( t \right)[/math]
Отсюда вытекает, что при таких [math]t[/math] произведения [math]\lambda _k P_k \left( t \right)[/math] не убывают. Следовательно, существует число [math]a>0[/math] такое, что
[math]\lambda _k P_k \left( t \right) > a[/math] для всех [math]k[/math]. Тогда
[math]P_k \left( t \right) > \frac{a}{{\lambda _k}}[/math]
Просуммировав эти неравенства, приходим к противоречию.

Автор:  MoskvinAlex [ 17 апр 2013, 22:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

А с чем противоречие??

С тем что сумма Pn в точке t получатся >0, а должна быть равна нулю?

Автор:  Prokop [ 18 апр 2013, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

С тем что сумма Pn в точке t равна 1, а сумма правых частей этих неравенств равна бесконечности.

Автор:  MoskvinAlex [ 18 апр 2013, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Процесс чистого размножения

То есть я правильно понимаю, что мы предполагали что tn стремится к какому-то конечному t, а получили из этого противоречие, и из этого сделали вывод что tn стремится к бесконечности?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/