Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
polymer |
|
|
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу: Синтезируется сополимер из четырёх мономеров (1, 2, 3 и 4). Встраивание в макромолекулу мономера 1 увеличивает некоторую характеристику D полимера на величину d. Встраивание мономера 3 снижает характеристику D на величину d. Встраивание мономеров 2 и 4 не изменяет характеристику D. Имеется идея, что, исходя из реакционной способности мономеров, последовательное встраивание мономеров в макромолекулу можно описать цепью Маркова с четырьмя состояниями, соответствующими каждому из мономеров, и матрицей вероятностей перехода за один шаг следующего вида: p q 0 0 0 0 p q 0 0 p q p q 0 0 Требуется найти: 1). вероятность того, что для цепи из n мономеров, величина D = md, где m — целое число; 2). мат. ожидание величины D (предполагаю, что оно будет равно нулю); 3). дисперсию величины D. Заранее благодарен. |
||
Вернуться к началу | ||
polymer |
|
|
Составил систему уравнений:
[math]{p_1} + {p_2} + {p_3} + {p_4} = 1[/math] [math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} & {{p_2}} & {{p_3}} & {{p_4}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} & {{p_2}} & {{p_3}} & {{p_4}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} p & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & q \\ 0 & 0 & p & q \\ p & q & 0 & 0 \\ \end{array} } \right)[/math] Решив систему, получил финальные вероятности состояний: [math]\begin{gathered} {p_1} = {p_3} = \frac{p}{2} \hfill \\ {p_2} = {p_4} = \frac{q}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Рассматривая состояние 1 как успех, а состояния 2, 3 и 4 как неудачу в схеме Бернулли, можно записать, что вероятность присутствия m звеньев 1 в цепи длиной n равна [math]P\left( {{n_1} = m} \right) = C\left( {n,m} \right){a^m}{b^{n - m}}[/math], где [math]\begin{gathered} a = {p_1} = \frac{p}{2} \hfill \\ b = {p_2} + {p_3} + {p_4} = \frac{{1 + q}}{2} \hfill \\ C\left( {n,m} \right) = \frac{{n!}}{{m!\left( {n - m} \right)!}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Мат. ожидание случайной величины n1 равно [math]M{n_1} = na = 0.5np[/math] Аналогично, рассматривая состояние 3 как успех, а состояния 1, 2 и 4 как неудачу в схеме Бернулли, можно записать, что вероятность присутствия m звеньев 3 в цепи длиной n равна [math]P\left( {{n_3} = m} \right) = C\left( {n,m} \right){a^m}{b^{n - m}}[/math], где [math]\begin{gathered} a = {p_3} = \frac{p}{2} \hfill \\ b = {p_1} + {p_2} + {p_4} = \frac{{1 + q}}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Мат. ожидание случайной величины n3 равно [math]M{n_3} = na = 0.5np[/math] Мат. ожидание разности случайных величин n1 - n3 равно разности мат. ожиданий n1 и n3 и равно нулю. Следовательно, мат. ожидание характеристики D равно нулю. Как найти дисперсию характеристики D? Проблема в том, что величины n1 и n3 не являются независимыми. |
||
Вернуться к началу | ||
polymer |
|
|
Со схемой Бернулли и биномиальными распределениями я, видимо, лишнего написал.
Мат. ожидания M(n1) и M(n3), по-видимому, можно просто посчитать как [math]\begin{gathered} M\left( {{n_1}} \right) = n{p_1} = \frac{{np}}{2} \hfill \\ M\left( {{n_3}} \right) = n{p_3} = \frac{{np}}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Следовательно, имеем [math]\begin{gathered} M\left( {{n_1} - {n_3}} \right) = M\left( {{n_1}} \right) - M\left( {{n_3}} \right) = 0 \hfill \\ M(D) = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] Дисперсия разности (n1 - n3) равна [math]\begin{gathered} {\text{disp}}\left( {{n_1} - {n_3}} \right) = {\text{disp}}\left( {{n_1}} \right) + {\text{disp}}\left( {{n_3}} \right) - 2\operatorname{cov} \left( {{n_1},{n_3}} \right) \hfill \\ {\text{disp}}\left( {{n_1} - {n_3}} \right) = M\left( {n_1^2} \right) + M\left( {n_3^2} \right) - 2M\left( {{n_1}{n_3}} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math] А дальше как? |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Цепь Маркова с двумя состояниями. Дисперсия
в форуме Теория вероятностей |
1 |
407 |
13 апр 2014, 18:03 |
|
Цепь Маркова
в форуме Теория вероятностей |
0 |
355 |
04 окт 2015, 18:15 |
|
Решить цепь Маркова
в форуме Теория вероятностей |
3 |
199 |
04 июн 2019, 15:34 |
|
Непрерывная цепь Маркова (найти время)
в форуме Теория вероятностей |
0 |
234 |
15 май 2018, 11:40 |
|
Система уравнений с четырьмя неизвестными
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
422 |
16 апр 2018, 08:28 |
|
Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой | 42 |
1833 |
24 мар 2018, 23:16 |
|
Решить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
408 |
11 янв 2017, 13:03 |
|
Ровно один автоморфизм с четырьмя элементами в универсуме | 3 |
253 |
10 фев 2021, 16:07 |
|
RC цепь МНК | 0 |
324 |
24 янв 2018, 17:17 |
|
Электрическая цепь.
в форуме Электричество и Магнетизм |
10 |
567 |
14 авг 2019, 19:35 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |