Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Цепь Маркова с четырьмя состояниями
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2012, 12:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2012, 11:52
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые математики!
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Синтезируется сополимер из четырёх мономеров (1, 2, 3 и 4). Встраивание в макромолекулу мономера 1 увеличивает некоторую характеристику D полимера на величину d. Встраивание мономера 3 снижает характеристику D на величину d. Встраивание мономеров 2 и 4 не изменяет характеристику D.
Имеется идея, что, исходя из реакционной способности мономеров, последовательное встраивание мономеров в макромолекулу можно описать цепью Маркова с четырьмя состояниями, соответствующими каждому из мономеров, и матрицей вероятностей перехода за один шаг следующего вида:
p q 0 0
0 0 p q
0 0 p q
p q 0 0
Требуется найти:
1). вероятность того, что для цепи из n мономеров, величина D = md, где m — целое число;
2). мат. ожидание величины D (предполагаю, что оно будет равно нулю);
3). дисперсию величины D.
Заранее благодарен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Цепь Маркова с четырьмя состояниями
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2012, 17:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2012, 11:52
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Составил систему уравнений:
[math]{p_1} + {p_2} + {p_3} + {p_4} = 1[/math]
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} & {{p_2}} & {{p_3}} & {{p_4}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} & {{p_2}} & {{p_3}} & {{p_4}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} p & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & q \\ 0 & 0 & p & q \\ p & q & 0 & 0 \\ \end{array} } \right)[/math]
Решив систему, получил финальные вероятности состояний:
[math]\begin{gathered} {p_1} = {p_3} = \frac{p}{2} \hfill \\ {p_2} = {p_4} = \frac{q}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Рассматривая состояние 1 как успех, а состояния 2, 3 и 4 как неудачу в схеме Бернулли, можно записать, что вероятность присутствия m звеньев 1 в цепи длиной n равна
[math]P\left( {{n_1} = m} \right) = C\left( {n,m} \right){a^m}{b^{n - m}}[/math],
где
[math]\begin{gathered} a = {p_1} = \frac{p}{2} \hfill \\ b = {p_2} + {p_3} + {p_4} = \frac{{1 + q}}{2} \hfill \\ C\left( {n,m} \right) = \frac{{n!}}{{m!\left( {n - m} \right)!}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Мат. ожидание случайной величины n1 равно
[math]M{n_1} = na = 0.5np[/math]

Аналогично, рассматривая состояние 3 как успех, а состояния 1, 2 и 4 как неудачу в схеме Бернулли, можно записать, что вероятность присутствия m звеньев 3 в цепи длиной n равна
[math]P\left( {{n_3} = m} \right) = C\left( {n,m} \right){a^m}{b^{n - m}}[/math],
где
[math]\begin{gathered} a = {p_3} = \frac{p}{2} \hfill \\ b = {p_1} + {p_2} + {p_4} = \frac{{1 + q}}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Мат. ожидание случайной величины n3 равно
[math]M{n_3} = na = 0.5np[/math]
Мат. ожидание разности случайных величин n1 - n3 равно разности мат. ожиданий n1 и n3 и равно нулю. Следовательно, мат. ожидание характеристики D равно нулю.
Как найти дисперсию характеристики D? Проблема в том, что величины n1 и n3 не являются независимыми.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Цепь Маркова с четырьмя состояниями
СообщениеДобавлено: 07 ноя 2012, 13:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2012, 11:52
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Со схемой Бернулли и биномиальными распределениями я, видимо, лишнего написал.
Мат. ожидания M(n1) и M(n3), по-видимому, можно просто посчитать как
[math]\begin{gathered} M\left( {{n_1}} \right) = n{p_1} = \frac{{np}}{2} \hfill \\ M\left( {{n_3}} \right) = n{p_3} = \frac{{np}}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Следовательно, имеем
[math]\begin{gathered} M\left( {{n_1} - {n_3}} \right) = M\left( {{n_1}} \right) - M\left( {{n_3}} \right) = 0 \hfill \\ M(D) = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Дисперсия разности (n1 - n3) равна
[math]\begin{gathered} {\text{disp}}\left( {{n_1} - {n_3}} \right) = {\text{disp}}\left( {{n_1}} \right) + {\text{disp}}\left( {{n_3}} \right) - 2\operatorname{cov} \left( {{n_1},{n_3}} \right) \hfill \\ {\text{disp}}\left( {{n_1} - {n_3}} \right) = M\left( {n_1^2} \right) + M\left( {n_3^2} \right) - 2M\left( {{n_1}{n_3}} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
А дальше как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Цепь Маркова с двумя состояниями

в форуме Теория вероятностей

leo183

0

434

21 май 2013, 19:00

Цепь Маркова с двумя состояниями. Дисперсия

в форуме Теория вероятностей

polymer

1

354

13 апр 2014, 18:03

Цепь Маркова

в форуме Теория вероятностей

SanchoPanza

0

313

04 окт 2015, 18:15

Дискретная цепь Маркова

в форуме Теория вероятностей

rawsik

6

738

30 май 2012, 07:56

Решить цепь Маркова

в форуме Теория вероятностей

K1b0rg

3

136

04 июн 2019, 15:34

Непрерывная цепь Маркова (найти время)

в форуме Теория вероятностей

flaskatex

0

169

15 май 2018, 11:40

Цепь Маркова: найти вектор вероятностей

в форуме Теория вероятностей

rawsik

1

420

29 авг 2012, 07:38

Система уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

solarsolnce

2

288

16 апр 2018, 08:28

система уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

STP

1

345

07 фев 2012, 14:20

Система нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Алгебра

gasmator

6

669

05 июн 2012, 23:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Luke1000, Yandex [bot] и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved