Четырёхзначный номер случайно взятого автомобиля

Какова вероятность того, что четырёхзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе:
б) имеет только две одинаковые цифры;
с) имеет две пары одинаковых цифр;
д) имеет только три одинаковые цифры;
е) имеет все цифры одинаковые.

bella
Из десяти цифр можно составить [math]10^4[/math] различных четырёхзначных чисел.

b) Возьмём теперь, например, цифру "0". Если в четырёхзначном числе она может встретиться только два раза, то обозначив любую другую цифру символом "Х", придём к выводу, что возможны числа следующего вида:00ХХ, 0Х0Х, 0ХХ0, Х00Х,Х0Х0, ХХ00, т. е. всего [math]C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!2!}=6[/math] видов чисел, в которых цифра "0" встречается дважды, т. е. два места из четырёх уже заняты цифрой "0". Для каждого из шести видов чисел на оставшиеся два места можно расставить девять оставшихся цифр [math]9\cdot8=72[/math] способами (эти цифры не должны повторяться в пределах одного числа). Таким образом, для цифры "0" возможно [math]6\cdot72=432[/math] четырёхзначных чисел, в которых она повторяется дважды. Поскольку и для остальных цифр получается такое же количество чисел, то всего таких чисел [math]432\cdot10=4320,[/math] а искомая вероятность составляет

c) Из десяти цифр можно составить [math]C_{10}^{2}=\frac{10!}{2!8!}=45[/math] различных пар. Обозначив одно число пары символом "Х", а другое символом "Y", получим четырёхзначные числа следующих видов: XXYY, XYXY, XYYX, YXXY, YXYX, YYXX, т. е. опять-таки шесть видов чисел. Следовательно, имеется [math]45\cdot6=270[/math] четырёхзначных чисел, в которых имеется две пары одинаковых цифр. Значит, искомая вероятность составляет


d) Обозначим одинаковые цифры символом "Х", а оставшуюся символом "Y". Возможны числа следующих видов: ХXXY, XXYX, XYXX, YXXX, т. е. всего [math]C_{4}^{3}=\frac{4!}{3!1!}=4[/math] вида четырёхзначных чисел. Число, обозначенное символом "Х", можно выбрать десятью способами, а число, обозначенное символом "Y", девятью способами. Следовательно, имеется [math]10\cdot9=90[/math] четырёхзначных чисел, имеющих только три одинаковых цифры. Значит, искомая вероятность составляет


e) Имеется десять четырёхзначных чисел с четырьмя одинаковыми цифрами (0000, 1111, ..., 9999), поэтому искомая вероятность составляет